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Continuidad y sobreyectividad de la Exponencial *

Sea a > 1, y consideremos la función f$ \left(\vphantom{ x}\right.$x$ \left.\vphantom{ x}\right)$ = ax acabada de definir.

Recordemos la desigualdad (4.1):

1 < a$\scriptstyle {\frac{1}{n}}$ < 1 + $\displaystyle {\frac{a}{n}}$, para a > 1 y n $\displaystyle \in$ IN.

Dado $ \varepsilon$ > 0, sea n $ \in$ IN tal que $ {\frac{a}{n}}$ < $ \varepsilon$. Luego para - $ {\frac{1}{n}}$ < x < $ {\frac{1}{n}}$ tenemos

ax < a$\scriptstyle {\frac{1}{n}}$ < 1 + $\displaystyle {\frac{a}{n}}$ < 1 + $\displaystyle \varepsilon$,

y también

ax > a- $\scriptstyle {\frac{1}{n}}$ > $\displaystyle {\frac{1}{1+\varepsilon}}$ > 1 - $\displaystyle \varepsilon$.

Esto demuestra que tomando $ \delta$ = $ {\frac{1}{n}}$ se tiene

$\displaystyle \left\vert\vphantom{ x}\right.$x$\displaystyle \left.\vphantom{ x}\right\vert$ < $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{ a^{x}-1}\right.$ax - 1$\displaystyle \left.\vphantom{ a^{x}-1}\right\vert$ < $\displaystyle \varepsilon$,

lo que significa

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}^{}$ax = 1.

En otras palabras, la función exponencial es continua en x = 0. En general, haciendo el cambio t = x - x0 tenemos:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}^{}$ax = $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}^{}$ax0 . ax - x0 = ax0$\displaystyle \lim\limits_{t\rightarrow0}^{}$at = ax0,

y entonces la función exponencial de base a es continua en todo IR.


Ahora que tenemos la continuidad, podemos usar el teorema de valores intermedios para concluir que el rango de la función exponencial es todo IR+. Para esto consideremos y > 0 y observemos que

an = $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+a-1}\right.$1 + a - 1$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+a-1}\right)^{n}_{}$ > n$\displaystyle \left(\vphantom{ a-1}\right.$a - 1$\displaystyle \left.\vphantom{ a-1}\right)$.

Por arquimedianidad existe n1 $ \in$ IN tal que n1$ \left(\vphantom{ a-1}\right.$a - 1$ \left.\vphantom{ a-1}\right)$ > y, de donde

an1 > n1$\displaystyle \left(\vphantom{ a-1}\right.$a - 1$\displaystyle \left.\vphantom{ a-1}\right)$ > y.

De la misma forma existe n0 $ \in$ IN tal que n0$ \left(\vphantom{ a-1}\right.$a - 1$ \left.\vphantom{ a-1}\right)$ > $ {\frac{1}{y}}$, de donde an0 > $ {\frac{1}{y}}$. Consecuentemente tenemos

a-n0 < y < an1.

Por el teorema de los valores intermedios, existe x $ \in$ $ \left]\vphantom{ -n_{0},n_{1}}\right.$ - n0, n1$ \left.\vphantom{ -n_{0},n_{1}}\right[$ tal que ax = y. Esto demuestra que la función

f : IR $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle \left]\vphantom{ 0,\infty}\right.$0,$\displaystyle \infty$$\displaystyle \left.\vphantom{ 0,\infty}\right[$,  f$\displaystyle \left(\vphantom{ x}\right.$x$\displaystyle \left.\vphantom{ x}\right)$ = ax, (4.2)

es sobreyectiva. Como ya sabíamos que era inyectiva (por ser estrictamente creciente), se concluye que es de hecho biyectiva.

Nota: Para 0 < a < 1 tenemos

ax = $\displaystyle {\frac{1}{b^{x}}}$, con b = $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ > 1,

y no es difícil convencerse de que sigue siendo biyectiva y continua. En adelante, cuando hablemos de la función exponencial, nos referimos a la función deinida por (4.2), con a > 0 y a $ \neq$ 1. Resumamos lo que tenemos:

Teorema 7   La función exponencial dada en (4.2) es biyectiva y continua. Además, es estrictamente creciente si a > 1, y estrictamente decreciente se 0 < a < 1.

El gráfico de f tiene la siguiente representación geométrica, en el caso a > 1 :

En el caso 0 < a < 1 la función resulta decreciente, y su gráfico se representa así:

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