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Ejercicios

1. Calcule

   log₂8,      log₉3,      log₂${\frac{1}{2}}$,      log₁₀(0.0001).                          

2. Exprese de manera que no aparezca el símbolo log
   log₂2ⁿ,      log₂9 + 4 log₂$${\frac{1}{\sqrt{3}}}$$,      log₃$$\left(\vphantom{ ab}\right.$$ab$$\left.\vphantom{ ab}\right)$$ - log₃$$\left(\vphantom{ 3a}\right.$$3a$$\left.\vphantom{ 3a}\right)$$ - log₃$$\left(\vphantom{ 9b}\right.$$9b$$\left.\vphantom{ 9b}\right)$$.

3. Halle los valores de x que satisfacen cada ecuación:
   log₃x = 5,    log₂$$\left(\vphantom{ x+1}\right.$$x + 1$$\left.\vphantom{ x+1}\right)$$ = - 1,    log_x25 = 2.

4. Calcule
   $$\left(\vphantom{ \left( \sqrt{2}\right) ^{\sqrt{2}}}\right.$$$$\left(\vphantom{ \sqrt{2}}\right.$$$$\sqrt{2}$$$$\left.\vphantom{ \sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}_{}$$$$\left.\vphantom{ \left( \sqrt{2}\right) ^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}_{}$$.

5. Recordando que $\sqrt{2}$ = 1. 414 213 562 3..., ordene en orden creciente los siguientes números
   2^1.42,  2^1.41,  2^$\sqrt{2}$,  2^1.412,  2^1.4139.

6. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:
   $$\begin{array}[c]{ccccc}%% \left( \sqrt{2}\right) ^{x^{2}}=2 & 3^{... ...n2}=2^{\ln x} & \frac {3^{x}-2^{x}}{2^{x}-1}=-1 & x^{2}=2^{\ln x} & \end{array}$$

7. Resuelva las siguientes ecuaciones:
   1. ln(x² + 1) = - x²,

   2. e^x2 = 1 - x²,

   3. e^x + e^-x = 2,

   4. e^x - e^-x = 4.

8. Demuestre usando el lema 4.1.1, que $\left(\vphantom{ ab}\right.$ab$\left.\vphantom{ ab}\right)^{x}_{}$ = a^xb^x, para a, b > 0 y x $\in$ IR.

9. Demuestre que lim$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + ${\frac{1}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}_{}$ = lim$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right.$1 + ${\frac{1}{n+1}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}_{}$ = e.

10. Si a_n $\rightarrow$ l y f es continua en l, demuestre que f$\left(\vphantom{ a_{n}}\right.$a_n$\left.\vphantom{ a_{n}}\right)$ $\rightarrow$ f$\left(\vphantom{ l}\right.$l$\left.\vphantom{ l}\right)$.

11. Si $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$f (x) = l, y F es una función continua en l, demuestre que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$(Fof )(x) = F(l ).

12. Demuestre que lim$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + ${\frac{1}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{a}_{}$ = 1, para a > 0. Sug. Considere ln$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + ${\frac{1}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{a}_{}$.

13. Demuestre que para a $\geq$ 0 se tiene $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right.$1 + ${\frac{a}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right)^{n}_{}$ = e^a. Sug. Para k = $\left[\vphantom{ \frac{n}%% {a}}\right.$${\frac{n}{a}}$$\left.\vphantom{ \frac{n}%% {a}}\right]$ justifique las siguientes desigualdades:
    $$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{k+1}}\right.$$1 + $${\frac{1}{k+1}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{k+1}}\right)^{ka}_{}$$ $$\leq$$ $$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{k+1}}\right.$$1 + $${\frac{1}{k+1}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{k+1}}\right)^{n}_{}$$ $$\leq$$ $$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right.$$1 + $${\frac{a}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right)^{n}_{}$$ $$\leq$$ $$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{k}}\right.$$1 + $${\frac{1}{k}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{k}}\right)^{n}_{}$$ $$\leq$$ $$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{k}}\right.$$1 + $${\frac{1}{k}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{k}}\right)^{a(k+1)}_{}$$.
    Luego use los ejercicios 9 y 11, la continuidad de la función f (x) = x^a.

14. Use el ejercicio anterior, y la desigualdad de Bernoulli, para mostrar que e^a $\geq$ 1 + a,$\forall$a $\in$ IR.

15. Demuestre que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}%% {x}}\right.$1 + ${\frac{a}{x}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}%% {x}}\right)^{x}_{}$ = e^a. Sug. Escriba $\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right.$1 + ${\frac{a}{x}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right)^{x}_{}$ = $\left[\vphantom{ \left( 1+\frac{1}{t}\right) ^{t}}\right.$$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{t}}\right.$1 + ${\frac{1}{t}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{t}}\right)^{t}_{}$$\left.\vphantom{ \left( 1+\frac{1}{t}\right) ^{t}}\right]^{a}_{}$, donde t = ${\frac{a}{x}}$, y use el ejercicio 11 y la continuidad de la función x $\mapsto$ x^a.

16. Demuestre que el resultado del ejercicio anterior sigue siendo válido para a < 0. Sug. Si a = - b, con b > 0, justifique lo siguiente:
    $$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right.$$1 + $${\frac{a}{x}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right)^{x}_{}$$ = $$\left[\vphantom{ \left( 1+\frac{b}{x-b}\right) ^{x}}\right.$$$$\left(\vphantom{ 1+\frac{b}{x-b}}\right.$$1 + $${\frac{b}{x-b}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{b}{x-b}}\right)^{x}_{}$$$$\left.\vphantom{ \left( 1+\frac{b}{x-b}\right) ^{x}}\right]^{-1}_{}$$ $$\rightarrow$$ $$\left(\vphantom{ e^{b}}\right.$$e^b$$\left.\vphantom{ e^{b}}\right)^{-1}_{}$$ = e^a.

17. Use la regla de L 'Hôpital, para mostrar que
    $$\lim_{x\rightarrow\infty}^{}$$$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right.$$1 + $${\frac{a}{x}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{x}}\right)^{x}_{}$$ = e^a, para todo a $$\in$$ IR.

18. Considere la sucesión x_n = $\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$1 + ${\frac{1}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{n}_{}$. Sabemos que lim x_n = e.

    (a)

    Muestre que

    x_n = 2 + $$\sum_{k=2}^{n}$$$$\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{n}}\right.$$1 - $${\frac{1}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{n}}\right)$$$$\left(\vphantom{ 1-\frac{2}%% {n}}\right.$$1 - $${\frac{2}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{2}%% {n}}\right)$$ ^... $$\left(\vphantom{ 1-\frac{k-1}{n}}\right.$$1 - $${\frac{k-1}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{k-1}{n}}\right)$$$${\frac{1}{k!}}$$, $$\forall$$n $$\geq$$ 3,

    usando la fórmula del binomio.

    (b)

    Use la parte (a) para concluir que

    x_n $$\geq$$ 2 + $$\sum_{k=2}^{m}$$$$\left(\vphantom{ 1-\frac{1}{n}}\right.$$1 - $${\frac{1}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{1}{n}}\right)$$$$\left(\vphantom{ 1-\frac{2}%% {n}}\right.$$1 - $${\frac{2}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{2}%% {n}}\right)$$ ^... $$\left(\vphantom{ 1-\frac{k-1}{n}}\right.$$1 - $${\frac{k-1}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1-\frac{k-1}{n}}\right)$$$${\frac{1}{k!}}$$, $$\forall$$n $$\geq$$ m.

    Luego tome el límite cuando n $\rightarrow$ $\infty$ para obtener que

    e $$\geq$$ $$\sum\limits_{k=0}^{m}$$$${\frac{1}{k!}}$$, $$\forall$$m $$\in$$ IN.

    (c)

    Concluya del teorema de Weierstrass que la sucesión $\left(\vphantom{ S_{m}}\right.$S_m$\left.\vphantom{ S_{m}}\right)$ definida por S_m = $$\sum\limits_{k=0}^{m}$$${\frac{1}{k!}}$ es convergente, y que

    $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$S_m $$\leq$$ e.

    (d)

    Use la parte (a) para mostrar que

    x_n $$\leq$$ $$\sum\limits_{k=0}^{n}$$$${\frac{1}{k!}}$$,

    y combine con la parte (c) para concluir que

    e = $$\lim_{n\rightarrow\infty}^{}$$$$\sum\limits_{k=0}^{n}$$$${\frac{1}{k!}}$$ = : $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}$$$${\frac{1}{k!}}$$.

19. Repita los pasos del ejercicio anterior, con x_n = $\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right.$1 + ${\frac{a}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right)^{n}_{}$, para concluir que:
    e^a = $$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}^{}$$$$\sum\limits_{k=0}^{m}$$$${\frac{a^{k}}{k!}}$$ = : $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}$$$${\frac{a^{k}}{k!}}$$, para a > 0.
    Sug. Use la fórmula del binomio para justificar lo siguiente:
     e^a = lim$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right.$$1 + $${\frac{a}{n}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right)^{n}_{}$$ $$\geq$$ lim$$\sum\limits_{k=0}^{m}$$$$\choose{n}{k}$$$${\frac{a^{k}}{n^{k}}}$$ = $$\sum\limits_{k=0}^{m}$$$${\frac{a^{k}}{k!}}$$.

    Luego considere la sucesión (S_n) definida por S_n = $\sum\limits_{k=0}^{n}$${\frac{a^{k}}{k!}}$, con a > 0 fijo. Muestre que (S_n) es creciente y acotada superiormente, y concluya que (S_n) converge a cierto límite S $\leq$ e^a. Usando la fórmula del binomio otra vez se tiene

    x_n $$\leq$$ $$\sum\limits_{k=0}^{n}$$$${\frac{a^{k}}{k!}}$$ $$\rightarrow$$ e^a,
    y concluya que S = e^a.

20. Resuelva las siguientes ecuaciones. Use una gráfica cuando lo amerite, para dar una idea inicial
    1. ln x = ln${\frac{1}{x+1}}$,

    2. ln x = x - 1,

    3. x^ex = 1,

    4. (e^x)^ex = 1,

    5. e^2x - 3e^x + 2 = 0,

    6. ${\frac{e^{2x}-1}{5e^{x}-1}}$ = 1.

21. Si f : IR $\rightarrow$ R es continua, y f (x) = a^x para todo x $\in$ IQ, muestre que f (x) = a^x, para todo x $\in$ IR.

22. Sea f : IR $\rightarrow$ R monótona y tal que f (x) = a^x, $\forall$x $\in$ IQ, muestre que f (x) = a^x, $\forall$x $\in$ IR.

23. Sea f : IR $\rightarrow$ R, tal que f (x + y) = f (x)f (y), $\forall$x, y $\in$ IR, y que f (1) = a $\neq$ 0.
    1. Muestre que f (x) $\neq$ 0, $\forall$x $\in$ IR y que f (0) = 1.

    2. Muestre por inducción que f (nx) = f (x)ⁿ, para n $\in$ IN y x $\in$ IR.

    3. Concluya que f (n) = aⁿ, $\forall$n $\in$ IN.

    4. Muestre que f (- x) = ${\frac{1}{f(x)}}$, $\forall$x $\in$ IR .

    5. Use (b) y (c) para concluir que f (r) = a^r , $\forall$r $\in$ IQ.

    6. Si f es monótona o continua, entonces f (x) = a^x, $\forall$x $\in$ IR (ver los ejercicios 21 y 22).

24. Sean f, g : IR $\rightarrow$ R continuas, y tales que f (r) = g(r), $\forall$r $\in$ IQ. Muestre que f = g (esto es, f (x) = g(x), $\forall$x $\in$ IR).

25. Muestre que para b > 1, b $\in$ IN, y x $\in$ [0, 1] , existe una sucesión $\left(\vphantom{ a_{n}}\right.$a_n$\left.\vphantom{ a_{n}}\right)_{n\in I\!\! N}^{}$, con a_n $\in$ {0,...b - 1}, tal que ${\frac{a_{1}}{b}}$ +...+ ${\frac{a_{n}}{b^{n}}}$ $\leq$ x < ${\frac{a_{1}}{b}}$ +...+ ${\frac{a_{n}}{b^{n}}}$ + ${\frac{1}{b^{n}}}$, $\forall$n $\in$ IN . Cuando b = 2, (a_n) se llama la expansión binaria de x.

26. Sea ID = $\left\{\vphantom{ \frac{k}{2^{n}}:k\in I\!\! Z,n\in I\!\! N}\right.$${\frac{k}{2^{n}}}$ : k $\in$ IZ, n $\in$ IN$\left.\vphantom{ \frac{k}{2^{n}}:k\in I\!\! Z,n\in I\!\! N}\right\}$. Use el ejercicio anterior para mostrar que para todo x $\in$ IR , existe una sucesión (r_n) en ID, creciente y tal que
    r_n $$\leq$$ x < r_n + $${\frac{1}{2^{n}}}$$,$$\forall$$n $$\in$$ IN.
    Además, para s_n = r_n + ${\frac{1}{2^{n}}}$ se tiene que $\left(\vphantom{ s_{n}}\right.$s_n$\left.\vphantom{ s_{n}}\right)$ es decreciente.

27. Repita los ejercicios 21, 22 y 24, con ID en vez de IQ.

28. Para todo x $\in$ IR, existen dos sucesiones $\left(\vphantom{ \tau _{n}}\right.$$\tau_{n}^{}$$\left.\vphantom{ \tau _{n}}\right)$ y ($\sigma_{n}^{}$) de irracionales, tales que $\left(\vphantom{ \tau _{n}}\right.$$\tau_{n}^{}$$\left.\vphantom{ \tau _{n}}\right)$ es creciente, $\left(\vphantom{ \sigma_{n}}\right.$$\sigma_{n}^{}$$\left.\vphantom{ \sigma_{n}}\right)$ es decreciente, y $\tau_{n}^{}$ $\leq$ x $\leq$ $\sigma_{n}^{}$, para cada n. Sug. Considere la expansión decimal (o binaria, como en el ejercicio 26) de ${\frac{x}{\sqrt{2}}}$.

29. Calcule
    1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1-\frac{a^{2}}{n^{2}}}\right.$1 - ${\frac{a^{2}}{n^{2}}}$$\left.\vphantom{ 1-\frac{a^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}_{}$ (sug. e^{a .} e^-a = 1).

    2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right.$1 + ${\frac{a}{n}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n}}\right)^{n^{2}}_{}$,

    3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1+\frac{a}{n^{2}}}\right.$1 + ${\frac{a}{n^{2}}}$$\left.\vphantom{ 1+\frac{a}{n^{2}}}\right)^{n}_{}$, etc.

30. Hallar el dominio máximo para las siguientes funciones:
    1. f (x) = ln(x² - 2x + 3)

    2. g(x) = ln(x - 1) + ln(x + 3)

    3. h(x) = ${\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+3)}}$

    4. ln(x - 1)²

    5. 2 ln(x - 1)

    6. $\sqrt{\ln(x-1)^{2}}$

    7. F(x) = $\sqrt{1-e^{x}}$ + $\sqrt{x}$

    8. G(x) = ln$\sqrt{x^{2}-1}$ + $\sqrt{\ln(x^{2}-1)}$

    9. J(x) = ${\frac{1}{e^{x}-2}}$$\sqrt{1-e^{x}}$

    10. k(x) = ${\frac{1}{e^{x}-2}}$$\sqrt{e^{x}-1}$

    11. H(x) = ln( 1 - $\sqrt{x^{2}-1}$)

    12. L(x) = $\sqrt{1-\sqrt{\ln x-1}}$

    13. M(x) = ln$\left(\vphantom{ \ln\left( \ln\left( \ln x\right) \right) }\right.$ln$\left(\vphantom{ \ln\left( \ln x\right) }\right.$ln$\left(\vphantom{ \ln x}\right.$ln x$\left.\vphantom{ \ln x}\right)$$\left.\vphantom{ \ln\left( \ln x\right) }\right)$$\left.\vphantom{ \ln\left( \ln\left( \ln x\right) \right) }\right)$.

31. Sea x_n = aⁿ, con a > 1. Demuestre que x_n $\rightarrow$ $\infty$. ¿Qué pasa si 0 < a < 1?

32. Demuestre que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$a^x = $\infty$, si a > 1.

33. Calcular:
    1. $\lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$${\frac{e^{x}-1}{x}}$. Sug. El límite coincide con la derivada de f (x) = e^x, en x = 0.

    2. $\lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$${\frac{e^{x}-x-1}{x}}$.Sug. Use la parte (a).

34. Para 0 $\leq$ x $\leq$ 1, demuestre que
    1 + x + $${\frac{x^{2}}{2}}$$ $$\leq$$ e^x $$\leq$$ 1 + x + $${\frac{x^{2}}{2}}$$ + ex³.
    Sug. Recuerde que e^x = $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{}$$\left(\vphantom{ 1+x+\ldots+\frac{x^{n}}{n!}}\right.$1 + x +...+ ${\frac{x^{n}}{n!}}$$\left.\vphantom{ 1+x+\ldots+\frac{x^{n}}{n!}}\right)$. Además, para n $\geq$ 3 se tiene
    $${\frac{x^{3}}{3!}}$$...+ $${\frac{x^{n}}{n!}}$$ = x³$$\left(\vphantom{ \frac{1}{3!}%% +\ldots+\frac{x^{n-3}}{n!}}\right.$$$${\frac{1}{3!}}$$ +...+ $${\frac{x^{n-3}}{n!}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{1}{3!}%% +\ldots+\frac{x^{n-3}}{n!}}\right)$$ < ex³.

35. Use el ejercicio anterior para demostrar que $\lim\limits_{x\rightarrow0}^{}$${\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}}$ = ${\frac{1}{2}}$.

36. Derive las siguientes funciones

    f (x)	= ln$\left(\vphantom{ x^{2}+1}\right.$x2 + 1$\left.\vphantom{ x^{2}+1}\right)$,  g(x) = $\left(\vphantom{ e^{x^{2}+e^{x}}}\right.$ex2 + ex$\left.\vphantom{ e^{x^{2}+e^{x}}}\right)^{x}_{}$,  h(x) = xx,
    j(x)	= $\left(\vphantom{ \ln x}\right.$ln x$\left.\vphantom{ \ln x}\right)^{\ln x}_{}$,  l (x) = $\left(\vphantom{ \cos x}\right.$cos x$\left.\vphantom{ \cos x}\right)^{x\ln x}_{}$.

37. Calcule las siguientes integrales indefinidas
    $$\begin{array}[c]{llll}%% {\displaystyle\int} xe^{x^{2}}dx\; & {\d... ...frac{e^{x}dx}{e^{x}+1}\; & {\displaystyle\int} \frac{dx}{e^{x}+1}%% \end{array}$$

38. Las funciones hiperbólicas se definen por
    cosh x = $${\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}$$,  sinh x = $${\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}$$,
    y luego
    tanh x = $${\frac{\sinh x}{\cosh x}}$$,  coth x = $${\frac{1}{\tanh x}}$$.
    Calcule las derivadas de cada una de estas funciones.

39. Recuerde que
    e^x = $$\left(\vphantom{ \lim\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}}\right.$$lim$$\sum\limits_{k=0}^{n}$$$${\frac{x^{k}}{k!}}$$$$\left.\vphantom{ \lim\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}}\right)$$ $$\geq$$ $$\sum\limits_{k=0}^{m}$$$${\frac{x^{k}}{k!}}$$,$$\forall$$m $$\in$$ IN.
    Use esto para mostrar que

    $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{} {\frac{e^{x}}{p(x)}} \infty$$ (4.4)

    para todo polinomio p(x).

40. En este ejercicio demostramos (4.4) de otra manera.
    1. Muestre que si r > 1 se tiene $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$${\frac{r^{x}}{x}}$ = $\infty$. Sug. Siendo r = 1 + $\varepsilon$, use el ejercicio 14 para concluir que
       rⁿ > $${\frac{n(n-1)}{2}}$$$$\varepsilon^{2}_{}$$.
       Luego, si n = $\left[\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right]$ tenemos
       r^x $$\geq$$ rⁿ $$\geq$$ $${\frac{n(n-1)}{2}}$$$$\varepsilon^{2}_{}$$ $$\geq$$ $${\frac{(x-1)(x-2)}{2}}$$$$\varepsilon^{2}_{}$$.

    2. Si r > 1 y p $\in$ IR, muestre que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$${\frac{r^{x}}{x^{p}}}$ = $\infty$. Sug. Si p $\leq$ 0 se tiene ${\frac{r^{x}%% }{x^{p}}}$ $\geq$ r^x, para x $\geq$ 1. Si p > 0 entonces
       $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$$${\frac{r^{x}}{x^{p}}}$$ = $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$$$\left(\vphantom{ \frac{r^{x/p}}{x}}\right.$$$${\frac{r^{x/p}}{x}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{r^{x/p}}{x}}\right)^{p}_{}$$,
       y use el ejercicio anterior con r^1/p en vez de r.

    3. Use el ejercicio anterior para mostrar que
       $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$$${\frac{P(x)}{r^{x}}}$$ = 0,
       para cualquier polinomio P(x), y cualquier r > 1 (Cualquier exponencial de base mayor que 1, crece más rápido que cualquier polinomio). Note que esto es lo mismo que
       $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$$${\frac{P(x)}{e^{\alpha x}}}$$ = 0, $$\forall$$$$\alpha$$ > 0.

41. Use el ejercicio anterior para demostrar que
    $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}^{}$$$${\frac{\left( \ln x\right) ^{\beta}}{P(x)}}$$ = 0,
    para cualquier polinomio P(x), y cualquier $\beta$ $\in$ IR (el logaritmo crece mucho más lento que cualquier potencia). Sug. Haga el cambio de variable t = ln x.

42. En este ejercicio se demuestra que e es irracional.
    1. Sea S_n = $$\sum\limits_{k=0}^{n}$$${\frac{1}{k!}}$. Demuestre que para n > m se tiene

       Sm	< Sn = Sm + ${\frac{1}{(m+1)!}}$$\left[\vphantom{ 1+\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+2)(m+3)}+\cdots}\right.$1 + ${\frac{1}{m+2}}$ + ${\frac{1}{(m+2)(m+3)}}$ + ... $\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+2)(m+3)}+\cdots}\right]$
       	< Sm + ${\frac{1}{(m+1)!}}$$\left[\vphantom{ 1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(m+1)^{2}}+\cdots}\right.$1 + ${\frac{1}{m+1}}$ + ${\frac{1}{(m+1)^{2}}}$ + ... $\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{(m+1)^{2}}+\cdots}\right]$.

    2. Concluya que S_m < S_n < S_m + ${\frac{1}{m\,m!}}$, si n > m. Haga n $\rightarrow$ $\infty$ para obtener
       S_m $$\leq$$ e $$\leq$$ S_m + $${\frac{1}{m\,m!}}$$,  $$\forall$$m $$\in$$ IN.

    3. Tome m = 10, y use una calculadora de bolsillo para deducir que e = 2.7182818....Con n = 20, y una calculadora más eficiente, se obtiene e = 2.7182818284590452353...

    4. Suponga que e = ${\frac{p}{m}}$, con p, m $\in$ IN. Use este m en la estimación de arriba, y multiplique por m! para obtener
       m! S_m $$\leq$$ p(m - 1)! $$\leq$$ m! S_m + $${\frac{1}{m}}$$.
       Como m! S_m es un entero, esto es una contradicción. Por lo tanto e es irracional.

43. Sea f : IR $\rightarrow$ IR una función derivable, tal que f^$\prime$(x) = f ((x), para todo x $\in$ IR. Demuestre que existe C $\in$ IR tal que f (x) = Ce^x, $\forall$x $\in$ IR. Sug. Derive la función g(x) = f (x)e^x.

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