El teorema de los cuatro colores y la coloración de mapas

Una interrogante que se le puede plantear a los estudiantes es Cuántos colores se deben de usar para colorear bien un mapa plano sin importar la forma o número de países que este posea ?². Debemos entender que un mapa estará bien coloreado si para cada país se emplea un tinte determinado con la particularidad de que cualesquiera dos países fronterizos están pintados de color distinto.

Este resultado fue establecido por el matemático alemán A.F. Möbius en una conferencia que dictó en 1840, sin embargo no pudo dar una demostración válida.

Estuvo sin resolver por más de cien años y no fue sino hasta la década de los años setenta del siglo pasado en que utilizando dos supercomputadores y doscientas horas de proceso se demostró que bastan solamente cuatro colores para poder colorear correctamente un mapa plano³. Es obvio que no es posible hacer una demostración formal a los estudiantes, pero el resultado se puede utilizar para atraer la atención de ellos en actividades extracurriculares. Como actividad complementaria se les puede pedir que dibujen un mapa de cualquier forma y tamaño y que usen solamente 4 colores para colorearlo. A través de la historia muchos matemáticos trataron de demostrar este resultado infructuosamente pero se lograron demostrar resultados para un diferente número de colores imponiendo ciertas restricciones. Algunos de estos son los siguientes: (Teorema de los dos colores) Para que dos colores basten para la coloración buena de un mapa es necesario y suficiente que en todo vértice converja un número par de fronteras. (Teorema de los tres colores) Para que tres colores alcancen para la coloración buena de un mapa normal ⁴ es necesario y suficiente que cada uno de los países tenga un número par de fronteras. (Teorema de los cinco colores) Cinco colores alcanzan para colorear bien cualquier mapa normal.

Estos y otros resultados se encuentran analizados en detalle en [3].

Nótese que estos resultados permiten desarrollar actividades con el estudiante en los cuales puedan emplear la capacidad tanto para que coloreen bien un mapa con cierto número de colores como para que encuentren casos de mapas donde no se pudieran colorear adecuadamente usando una cantidad limitada de tintes.