|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Función Gamma

Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma $\Gamma(x)$, la cual es de gran importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.

 

	Definición  [Función Gamma]
	La función $\Gamma: [0,\infty[ \rightarrow$   $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$$$ dada por $$\int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$$

se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.

 

Figura 1.9

 

El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de la función gamma.

 

	Teorema [Recursividad de gamma]
	Para toda $x > 0$ se tiene que $$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$$

Demostración

Integrando por partes

$$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$$

$$= \underbrace{\frac{e^{-t}t^x}{x} \biggr \vert _0^{\infty}}_{0} + \frac{1}{x} \int_0^{\infty} e^{-t}t^x dt$$

$$= \frac{1}{x} \Gamma(x+1)$$

Ejemplo
Calcule $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$.

Solución 

$$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \int_0^{\infty} \underbrace{t^{-\frac{1}{2}} e^{-t}}_{u^2=t} dt$$

$$= 2 \int_0^{\infty} e^{u^2} du$$

$$= \sqrt{\pi}$$

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.

 

	Corolario [Recursividad de Gamma]
	Para $x > 0$, $p=1,2,\ldots$ y $n=1,2,\ldots$ se tiene que $$\Gamma(x+p) = (x+p-1)(x+p-2) \ldots x \Gamma(x)$$

Observación: de los resultados anteriores obtenemos que $\Gamma(n+1)=n!$, por esta razón se conoce a esta función como el factorial generalizado.

Ejemplo
Calcular los valores de $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$, $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$, $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Solución
Usando la propiedad recursiva, tenemos que

• Para $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$:

  
  

  $$\Gamma\left( \frac{3}{2} \right) = \Gamma \left(\frac{1}{2} + 1 \right)$$

  $$= \frac{1}{2} \Gamma\left( \frac{1}{2}\right)$$

  $$= \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

  
  

• Para $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$:

  
  

  $$\Gamma\left( \frac{5}{2} \right) = \Gamma\left( \frac{3}{2} + 1 \right)$$

  $$= \frac{3}{2} \Gamma\left( \frac{3}{2} \right)$$

  $$= \frac{3}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

  $$= \frac{3 \sqrt{\pi} }{4}$$

  
  

• Para $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$:

  
  

  $$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \Gamma\left( - \frac{1}{2} + 1 \right)$$

  $$\sqrt{\pi} = - \frac{1}{2} \Gamma\left( -\frac{1}{2} \right)$$

  
  

  De donde

  $$\Gamma\left( -\frac{1}{2} \right) = -2 \sqrt{\pi}$$
   

	Definición [Función Beta]
	La siguiente integral $$\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} \left( 1 - t \right)^{y-1} dt$$ se conoce como la función beta.

El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta.

 

Teorema [Propiedades de la función beta]

La función $\beta(x,y)$ converge para $x > 0$, $y>0$. $\beta(x,y) = \beta(y,x)$. Para $x > 0$, $y>0$ se tiene que $$\beta(x,y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(Sen(t) \right)^{2x-1} \left(Cos(t) \right)^{2y-1} dt$$ Para $x > 0$, $y>0$ se tiene que $$\beta(x,y) = \int_0^{\infty} \frac{t^{x-1}}{\left(1 + t \right)^{x+y}} dt$$ Para $x > 0$, $y>0$ se tiene que $$\beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

Demostración

1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

   
   

   $$\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} \left(1 - t \right)^{y-1} dt$$

   $$= \int_0^{1/2} t^{x-1} \left(1 - t \right)^{y-1} dt + \int_{\frac{1}{2}}^1 t^{x-1} \underbrace{\left(1 - t \right)^{y-1}}_{u=1-t} dt$$

   $$= \int_0^{1/2} t^{x-1} \left(1 - t \right)^{y-1} dt + \int_0^{1} u^{y-1} \left(1 - u \right)^{x-1} dt$$

   
   

   Ahora, observe que la primera integral convwerge si

   $$1 - x < 1 \Rightarrow x > 0$$

   y de igual manera, la segunda integral converge si

   $$1 - y < 1 \Rightarrow y > 0$$

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable $u=1-t$

   
   

   $$\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} \underbrace{\left( 1-t \right)^{y-1}}_{u=1-t} dt$$

   $$= \int_0^1 u^{y-1} \left(1 -u \right)^{x-1} dt$$

   $$= \beta(y,x)$$

   
   

3. Haciendo el cambio de variable
   $$t = Sen^2(u) \Rightarrow dt = 2 Sen(u) Cos(u) du$$

   tenemos que

   
   

   $$\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} \underbrace{\left( 1- t \right)^{y-1}}_{t=Sen^2(u)} dt$$

   $$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( Sen^2(u) \right)^{x-1} \left(1 - Sen^2(u) \right)^{y-1} 2 Sen(u) Cos(u) du$$

   $$= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(Sen(t) \right)^{2x-1} \left(Cos(t) \right)^{2y-1} dt$$

   
   

4. Haciendo el cambio de variable
   $$t = \frac{u}{1 + u} \Rightarrow dt = \frac{du}{\left(1 + u \right)^2}$$

   tenemos que

   
   

   $$\beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} \left(1 - t \right)^{y-1} dt$$

   $$= \int_0^{\infty} \left( \frac{u}{1+u} \right)^{x-1} \left( 1 - \frac{u}{1+u} \right)^{y-1} \frac{1}{\left( 1 + u \right)^2}du$$

   $$= \int_0^{\infty} \frac{u^{x-1}}{\left( 1 + u \right)^{x+y}} du$$

   
   

5. La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale de los objetivos del curso, por esta razón no la haremos.

 

Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral

$$\int_0^{\infty} \frac{t^3}{\left( 1 + t \right)^7} dt$$

Solución 
Usando los resultados del teorema anterior

$$\int_0^{\infty} \frac{t^3}{\left( 1 + t \right)^7} dt = \beta(4,3)$$

$$= \frac{\Gamma(3) \Gamma(4)}{\Gamma(7)}$$

$$= \frac{12}{720}$$

$$= \frac{1}{60}$$

Observe que cuando $n$ es muy grande es extremadamente difícil calcular $n!$, aún con la ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el número de posibles formas de barajar un maso de cartas podría tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de $52!$. El siguiente teorema establece que $(n/e)^n \sqrt{2 \pi n}$ es una buena aproximación de $n!$, cuando $n$ es muy grande.

 

	Teorema [Fórmula de Stirling]
	$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2\pi n}}{n!} = 1$$

Observación: del la fórmula de Stirling^1.4 tenemos que

$$\Gamma(n + 1) \approx n^n e^{-n}\sqrt{2 \pi n}$$

Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función $\Gamma(x)$ y la transformada.

 

	Teorema [Transformada de $t^x$]
	Para $x > 0$, tenemos que $${\cal L} \{ t^x \} = \frac{\Gamma(x+1)}{s^{x+1}}$$

Demostración

Usando la definición de transformada y la sustitución $u=st$, tenemos que

$${\cal L} \{ t^x \} = \int_0^{\infty} e^{-st} t^{x} dt$$

$$= \frac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-u} \left( \frac{u}{s} \right)^{-u} du$$

$$= \frac{1}{s^{x+1}} \int_0^{\infty} u^x e^{-u} du$$

$$= \frac{\Gamma(x+1)}{s^{x+1}}$$

 

Ejemplo
Calcule

$${\cal L} \left\{ \frac{1}{\sqrt{t}} \right\}$$

Solución 

Usando el teorema anterior

$${\cal L} \left\{ \frac{1}{\sqrt{t}} \right\} = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} )}{\sqrt{s}}$$

$$= \sqrt{\frac{\pi}{s}}$$

Ejemplo
Calcule

$${\cal L} \left\{ \frac{1}{\sqrt{s -2} } \right\}$$

Solución 
Usando el primer teorema de traslación, tenemos que

$${\cal L} \left\{ \frac{1}{\sqrt{s -2} } \right\} = e^{2t} {\cal L} \left\{ \frac{1}{\sqrt{s}} \right\}$$

$$= \frac{e^{2t}}{\sqrt{\pi t}}$$

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \left\{J_0(t) \right\}$ donde $J_0(t)$ es la función de Bessel de orden cero dada por la serie

$$J_0(t) = 1 - \frac{t^2}{2^2} + \frac{t^4}{2^2 4^2} - \frac{t^6}{2^2 4^2 6^2} + \cdots$$

Solución 
Aplicando transformada de Laplace

$${\cal L} \left\{ J_0(t) \right\} = \frac{1}{s} - \frac{1}{2^2} \frac{2!}{s^3} + \frac{1}{2^2 4^2} \frac{4!}{s^5} + \frac{1}{2^2 4^2 6^2} \frac{6!}{s^7} + \cdots$$

$$= \frac{1}{s} \left\{ 1 -\frac{1}{2} \frac{1}{s^2} + \frac{1 \cdot ... ...} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{1}{s^6} + \cdots \right\}$$

$$= \frac{1}{s} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{s^2} \right)^{-1/2} \right\}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}$$

Observación: en este ejemplo hemos usado que

$$\frac{1}{\sqrt{x + 1}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3 + \cdots$$

para $\left\vert x \right\vert <1$.

 

 

 

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