Ecuaciones Integrales

El teorema de convolución es útil en la solución de otros tipos de ecuaciones en las cuales aparecen integrales de una funciones desconocida.

Definición [Ecuaciones integrales de Volterra]

La ecuación

$\displaystyle f(t) = \phi(t) + \alpha \int_a^t K(t, \tau)f(\tau) d \tau$

donde , $K(t,\tau)$ son funciones conocidas, es una función incógnita y $\alpha$ , un parámetro numérico, se llama ecuación integral lineal de Volterra de segunda especie. La función $K(t,\tau)$ se denomina núcleo de la ecuación de Volterra. Si $\phi(t)=0$ la ecuación integral toma la forma

$\displaystyle f(t) = \alpha \int_a^t K(t, \tau) f(t) dt$

y se llama ecuación integral homogénea de Volterra de segunda especie.

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 4 {\cal L} \{ t \} - 3 {\cal L} \left\{ \int_0^{t} f(\tau) Sen(t - \tau) d \tau \right\}$
$\displaystyle F(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{4}{s^2} - \frac{3F(s)}{s^2 + 1}$
$\displaystyle \left( 1 + \frac{3}{s^2+ 1} \right)F(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{4}{s^2}$
$\displaystyle F(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{4(s^2 +1)}{s^2(s^2 + 4)}$
$\displaystyle F(s)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s^2} + \frac{3}{s^2 + 4}$

$\displaystyle f(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2} + \frac{3}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \left\{ \frac{1}{s^2} \right\} + 3{\cal L} \left\{ \frac{1}{s^2+4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle t + \frac{3}{2}Sen(2t)$