|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Solución de ecuaciones diferenciales La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones $f(t)$, periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial $$\left\{ \begin{array}{rcl} y^{\prime \prime} + 2y^{\prime... ... & = & 0 \\ y^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$ Solución  Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que $$\left( s^2 + 2s + 2 \right)Y(s) = e^{- \pi s}$$ $$Y(s) = \frac{e^{-\pi s}}{s^2 +2s + 2 }$$ $$Y(s) = \frac{e^{-\pi s}}{(s+1)^2 + 1}$$ Y al aplicar la transformada inversa $$y(t) = e^{-(t- \pi)} Sen(t- \pi) H(t-\pi)$$ La gráfica de la solución $y(t)$ se muestra en la figura 1.10 Figura 1.10 Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{\prime \prime} + 16x & = & ... ... & = & 0 \\ x^{\prime}(0) & = & 1 \\ \end{array} \right.$$ donde $f(t)$ está dada por $$\begin{cases} Cos(4t) & \text{Si $0 \leq t < \pi$\ } \\ 0 & \text{Si $t \geq \pi$\ } \\ \end{cases}$$ Solución  La función $f(t)$ puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente. Primero usemos la función de Heaviside para reescribir $f(t)$: $$f(t)=Cos(4t) - Cos(4t)H(t-\pi) = Cos(4t) - Cos\left(4 \left((t - \pi\right) )\right)H(t-\pi)$$ Aplicando transformada tenemos que $$s^2X(s) -sx(0) - x^{\prime}x(0) + 16X(s) = \frac{s}{s^2+16} - \frac{se^{-\pi s}}{s^2+16}$$ $$\left(s^2 + 16 \right)X(s) = 1 + \frac{s}{s^2+16} - \frac{se^{-\pi s}}{s^2+16}$$ $$X(s) = \frac{1}{s^2+16} + \frac{s}{(s^2+16)^2} - \frac{se^{-\pi s}}{(s^2+16)^2}$$ Al aplicar la transformada inversa obtenemos $$x(t) = \frac{1}{4} Sen(4t) + \frac{t}{8} Sen(4t) - \frac{t-\pi}{8} Sen\left(4 \left((t-\pi\right) \right) H(t-\pi)$$ La gráfica de $x(t)$ se muestra en la figura 1.11. Figura 1.11 Ejemplo Resolver el siguiente problema de valor inicial $$\left\{ \begin{array}{rcl} t y^{\prime \prime} + y^{\prim... ... & = & 3 \\ y^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$ Solución  En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil. $${\cal L} \left\{t y^{\prime \prime} \right\} + {\cal L} \left\{ y^{\prime} \right\} + 4 {\cal L} \left\{ ty\right\} =$$ 0 $$- \left(s^2 Y(s) - s y(0) - y^{\prime}(0) \right)^{\prime} + sY(s) - y(0) - 4 Y^{\prime}(s) =$$ 0 $$\frac{dY(s)}{ds} + \frac{sY(s)}{s^2 + 4} =$$ 0 Integrando obtenemos que $$Ln\left(Y(s) \right) + \frac{1}{2} Ln \left(s^2 + 4 \right) = c \Rightarrow Y(s) = \frac{c}{\sqrt{s^2 + 4}}$$ De donde obtenemos que $$y(t) = c J_0(2t)$$ Para determinar el valor de $c$ obsérvese que $y(0)= cJ_0(0) = c = 3$. Con lo cual la solución al problema está dada por $y(t)=3J_0(2t)$.   Revista digital Matemática, Educación e Internet.