|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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 Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular ${\cal L} \{e^{kt}Sen(t) \}$, es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$, podemos calcular la transformada de ${\cal L} \{e^{kt} f(t) \}$ como una traslación, de $F(s)$ a $F(s-k)$, como lo enuncia el siguiente teorema.

 

	Teorema [Primer teorema de traslación]
	Si $k$ es un número real y ${\cal L} \{ f(t) \}$ existe, entonces $${\cal L} \{e^{kt} f(t) \} = F(s-k)$$ donde $F(s) = {\cal L} \{ f(t) \}$. Forma inversa del primer teorema de traslación: $$e^{kt}f(t) = {\cal L}^{-1} \left\{ F(s-k) \right\} = {\cal L} \left\{ F(s)\bigr\vert _{x \rightarrow s-k} \right\}$$

 

Demostración

La prueba es inmediata apartir de la definción

$${\cal L} \{e^{kt} f(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{kt} f(t) dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-k)t} f(t) dt = F(s-k)$$

Observación: si consideramos a $s$ como una variable real, entonces la gráfica de $F(s-k)$ es la misma de $F(s)$ trasladada $\vert k\vert$ unidades sobre el eje $s$. Si $k >0$, la gráfica de $F(s)$ se desplaza $\vert k\vert$ unidades a la derecha, miéntras que, si $k<0$, la gráfica se traslada $\vert k\vert$ unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir

$${\cal L} \{ e^{kt} f(t) \} = {\cal L} \{f(t) \}\bigr\vert _{s \rightarrow s-k}$$

donde $s \rightarrow s-k$ significa que se sustituye $s$ por $s-k$ en $F(s)$.

Ejemplo

Calcule

$${\cal L} \left\{ e^{at} Cos(bt) \right\}$$

Solución

Usando el primer teorema de traslación

$${\cal L} \left\{ e^{at} Cos(bt) \right\} = {\cal L} \{ Cos(bt) \} \biggr\vert _{s \rightarrow s-a}$$

$$= \frac{s}{s^2 + b^2} \biggr\vert _{s \rightarrow s-a}$$

$$= \frac{s-a}{ \left( s - a \right)^2 + b^2}$$

Ejemplo

 
Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular

$${\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{\left(s-3 \right)^3} \right\}$$

Solución

$${\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{\left(s-3 \right)^3} \right\} = \frac{1}{2!} {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2!}{\left(s-3 \right)^3} \right\}$$

$$= \frac{1}{2!} {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2!}{s^3} \biggr\vert _{s \rightarrow s-3} \right\}$$

$$= \frac{1}{2} t^2e^{3t}$$

Ejemplo

 
Calcule

$${\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4s + 13} \right\}$$

Solución
Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador

$${\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4s + 13} \right\} = {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{\left( s + 2 \right)^2 + 9} \right\}$$

$$= {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s + 2 -2}{ \left(s + 2 \right)^2 + 9} \right\}$$

$$= {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s + 2}{ \left(s + 2 \right)^2 + 9} \right\} - 2{\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{ \left(s + 2 \right)^2 + 9} \right\}$$

$$= {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 9} \biggr\vert _{s \rightarr... ...cal L}^{-1} \left\{ \frac{3}{s^2 + 9} \biggr\vert _{s \rightarrow s+2} \right\}$$

$$= e^{-2t} Cos(3t) - \frac{2}{3} e^{-2t} Sen(3t)$$

Subsecciones

• Función escalón

 

 

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