|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Sistemas mecánicos Ejemplo Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante $t=0$ el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte $t=2$ el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante $t=4$ se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento. Encuentre la posición del peso en cualquier instante $t$. ¿Cuál es la posición del peso en $t=5$ ? Solución Para hallar la constante del resorte $$F=ks \Rightarrow 16 = 2k \Rightarrow k = 8$$ Con lo cual el modelo matemático es $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{\prime \prime} + 8x^{\prime... ... & = & 3 \\ x^{\prime}(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$ Aplicando transformada $$s^2X(s)-sx(0)-x^{\prime}(0) + 8sX(s) - 8x(0) + 16X(s) = -4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$$ $$\left( s +4 \right)^2 X(s) = 3s + 3$$ $$- 4e^{-2s} + 8 \frac{e^{-4s}}{s}$$ $$X(s) = \frac{3s+3}{\left( s + 4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left( s + 4 \right)^2}$$ $$+ \frac{8e^{-4s}}{s\left( s +4 \right)^2}$$ El $-2$ que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que $x(0)=3$, pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales $$X(s) = \frac{3}{s+4} - \frac{9}{\left(s+4 \right)^2} - \frac{4e^{-2s}}{\left(s+4\right)^2}$$ $$+ \frac{8e^{-4s}}{s+4} - \frac{32e^{-4s}}{s \left(s +4 \right)^2}$$ De donde obtenemos que $$x(t) = 3e^{-4t} - 9te^{-4t}-4(t-2)e^{-4(t-2)}H(t-2) + 8e^{-4(t-2)}H(t-4)$$ $$- 32(t-4)e^{-4(t-4)}H(t-4) -32$$ Y así $x(5)=0.454137$. La gráfica de $x(t)$ se muestra en la figura 1.12 Figura 1.12     Revista digital Matemática, Educación e Internet.