|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.


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 Introducción

En el modelo matemático de un sistema físico, como el de una masa $ m$ sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial

$\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} + \beta \frac{dx}{dt} + kx = f(t) \hspace{1.5cm} L \frac{d^2q}{dt^2} + \beta \frac{dq}{dt} + kq = E(t) $

es una función que representa una fuerza externa $ f(t)$ o un voltaje $ E(t)$. Hasta ahora hemos resuelto problemas para los cuales estas funciones eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos; por ejemplo, en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la transformada de Laplace1.1 es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo.

Usaremos la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones integrales, de sistemas de ecuaciones diferenciales y también la aplicaremos al cálculo de integrales.

En el capítulo anterior trabajamos con el operador derivación $ D$, el cual es un caso particular de funciones más generales llamadas transformaciones lineales. Ahora estudiaremos una nueva transformación lineal que es un caso especial de una clase de transformaciones lineales de especial interés, llamadas transformaciones integrales. Para comprender en qué consisten, consideremos funciones $ f(t)$ definidas en un intervalo finito o infinito $ a \leq t \leq b$ y tomemos una función fija $ K(s,t)$ de variable $ t$ y parámetro $ s$. Entonces, en general una transformación integral tiene la forma

$\displaystyle T\left( f(t) \right) = F(s) = \int_a^b K(s,t) f(t) dt $

La función $ K(s,t)$ se llama núcleo de la transformación $ T$. Claramente $ T$ es lineal, sin importar la naturaleza de la función $ K(s,t)$. El estudio de estas transformaciones integrales generalizadas a conducido al análisis de ciertas transformaciones específicas que han resultado de mucha utilidad al abordar ciertos problemas. Una de estas transformaciones especiales se obtiene haciendo $ a=0$, $ b = \infty$ y $ K(s,t)=e^{-st}$, como vemos en la siguiente definición.

 
   Definición [Transformada de Laplace]
  Suponga que la función $ y(t)$ está definida para $ t \geq 0$ y la integral impropia

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} y(t) dt $

converge para $ s > s_0$. Entonces la transformada de Laplace de $ y(t)$ existe para $ s > s_0$ y está dada por

$\displaystyle y(s) = {\cal L} \{y(t) \} = \int_0^{\infty} e^{-st}y(t) dt $
 

 Antes de dar alguna teoría que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada de Laplace de algunas funciones, usando esta definición.

 

 Ejemplo

 
Calcule $ {\cal L} \{ 1\}$.

Solución
Por definición

$\displaystyle {\cal L} \{ 1 \} = \int_0^{\infty} e^{-st} dt = \frac{e^{-st}}{-s} \Biggr\vert^{\infty}_{0} = \frac{1}{s}, $

para $ s >0$.

Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{t \}$.

Solución
Usando la definición


$\displaystyle {\cal L} \{t \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} t e^{-st} dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{te^{-st}}{-s} \Biggr\vert^{\infty}_{0} + \frac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 + \frac{1}{s} {\cal L} \{ 1\}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} \frac{1}{s}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s^2}$

Observación: no resulta difícil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente transformada

$\displaystyle {\cal L} \{ t^n \} = \frac{n!}{s^{n+1}} $

para $ s >0$ y $ n \geq 0$. Dejamos al lector la comprobación de esta fórmula (sugerencia use inducción matemática).

 

Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{ e^{kt} \}$.

Solución
Usando la definición


$\displaystyle {\cal L} \{ e^{kt} \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} e^{kt} dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{(k-s)t} dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{(k-s)t}}{k-s} \Biggr\vert^{\infty}_{0}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s-k}$

para $ s > k$.

Un par de transformadas particularmente útiles son las de las funciones trigonométricas $ Sen(t)$ y $ Cos(t)$, que calculamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{Sen(kt) \}$ y $ {\cal L} \{Cos(kt) \}$.

Solución
Usando la definición


$\displaystyle {\cal L} \{ Sen(kt) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} Sen(kt) dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{e^{-st}Sen(kt)}{s} \biggr\vert^{\infty}_{0} + \frac{k}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} Cos(kt) dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 + \frac{k}{s} {\cal L} \{ Cos(kt) \}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{k}{s} {\cal L} \{ Cos(kt)\}$

Por otro lado


$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(kt) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} Cos(kt) dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{e^{-st} Cos(kt)}{s} \Biggr\vert^{\infty}_0 - \frac{k}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} Sen(kt) dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} - \frac{k}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} Sen(kt) dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} - \frac{k}{s} {\cal L} \{Sen(kt) \}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} - \frac{k}{s} \left( \frac{k}{s} {\cal L} \{ Sen(kt) \} \right)$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} - \frac{k^2}{s^2} {\cal L} \{ Cos(kt) \}$

De donde concluimos que

$\displaystyle {\cal L} \{Cos(kt) \} = \frac{s}{s^2 + k^2}, $

para $ s >0$.

Y retomando la transformada de $ Sen(kt)$

$\displaystyle {\cal L} \{Sen(kt) \} = \frac{k}{s} {\cal L} \{ Cos(kt)\} = \frac{k}{s} \frac{s}{s^2 + k^2} = \frac{k}{s^2 + k^2}, $

para $ s >0$.

Observación: podemos calcular la transformada $ Cos(t)$ usando su representación compleja. Como

$\displaystyle Cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} $

tenemos que


$\displaystyle {\cal L} \left\{ Cos(kt) \right\}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \left\{ \frac{e^{ikt}+ e^{-ikt}}{2} \right\}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( {\cal L} \left\{ e^{ikt} \right\} + {\cal L} \left\{ e^{-ikt} \right\} \right)$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s - ik} + \frac{1}{s + ik} \right)$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{2s}{s^2 + k^2} \right)$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{s^2 + k^2}$

De forma análoga usando

$\displaystyle Sen(t) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i} $

podemos calcular $ {\cal L} \left\{ Sen(kt) \right\}$.

Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{ f(t) \} $, donde

\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} t^2 + 1 & \text{Si $0 \leq t \leq 1$\ } \\ t - 1 & \text{Si t > 1} \\ \end{cases} \end{displaymath}

Solución
Por definición


$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{1} \left( t^2 + 1 \right) e^{-st} dt + \int_1^{\infty} \left( t - 1\right) e^{-st} dt$
     
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -e^{-st} \left( \frac{t^2 + 1}{s} + \frac{2t}{s^2} + \frac{2}{s^3... ... - e^{-st} \left( \frac{t-1}{s} + \frac{1}{s^2} \right)\Biggr\vert^{\infty}_{1}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s^2 + 2 - e^{-s} \left( s^2 + s + 1 \right) }{s^3} + \frac{e^{-s}}{s^2}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s^2 + 2 - e^{-s} \left( s^2 + 2s + 1 \right) }{s^3}$


 

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