Funciones periódicas

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Teorema [Transformada de una función periódica]

Sea $f: [0,+\infty[ \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$

una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ . Si

es periódica, con periódo

, entonces

$\displaystyle {\cal L} \{f(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t) dt$

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_T^{2T} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=2T+u}$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{2T}^{3T} \underbrace{e^{-st}f(t) dt}_{t=3T+u}) + \ldots + \int_{(n-1)T}^{nT} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=nT+u}) + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_0^{T} e^{-s(u+T)} \underbrace{f(u + T)}_{f(u+T)=f(u)} dt$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \ldots + \int_0^{T} e^{-s(u+nT)} \underbrace{f(u + nT)}_{f(u + nT)=f(u)} dt + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + e^{-3sT} + \ldots \right) \int_0^T e^{-su} f(u) du$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-su} f(u) du$

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde

es la función periódica diente de sierra que se muestra en la figura 1.7.

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{2s}} \int_0^{2} e^{-st} f(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \int_0^1 te^{-st} dy + \int_1^2 (2-t) e^{-st} dt \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} - \frac{e^{-s}}{s} - \fr... ...-s}}{s^2} + \frac{e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{2e^{-s}}{s^2} \right)$