Lic. Elsie Hernández S.

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Límites infinitos y límites al infinito

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente $x$ está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee: $x$ tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$(que se lee: $x$ tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando $f(x)$ crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe $f(x)\rightarrow +\infty$, y si decrece tomando valores negativos escribimos $f(x)\rightarrow -\infty$.
Consideramos la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ para $x\in I\!\!R-\{2\}$. Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando $x\rightarrow 2$ cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

 
a.    

 

En este caso, cuando $x\rightarrow 2^{+},\;(x\rightarrow 2,\;x>2)$, la función $f(x)$ tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como $f(x)\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$, es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=+\infty}$

 
b.   
 

Ahora, cuando $x$ toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, $f(x)\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 2^{-}$, o sea $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=-\infty}$.

 
c.  

Ahora observe que es $x$ la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que $f(x)$ tiende a valores cercanos a cero.

Así $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$, o sea, $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow +\infty$.


d.  
 

En forma similar a la tabla anterior se tiene que $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow -\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función $f$ en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{-1}{x}}$ para $x\in I\!\!R-\{0\}$, cuya representación gráfica es la siguiente:

 

Podemos decir que:
a.     $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{f(x)}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{f(x)}=+\infty}$

b.    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$       

Ejercicio 

Determine: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{g(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{g(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{g(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{g(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{g(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{g(x)}}$, utilizando para ello la función $g$.

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.


  Definición 
  Se dice que $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ tiende a $c$, que se denota $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=+\infty}$, si para todo número real $N>0$, (sin importar su magnitud), existe $\delta >0$ tal que $f(x)>N$ siempre que $0<\vert x-c\vert<\delta$.

Gráficamente se tiene:

 

Esta definición nos dice que es posible hacer $f(x)$ tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo $N$), tomando $x$ suficientemente cerca de $c$.

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función $f$ definida por: $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}\;\;\mbox{para}\;\;x\in I\!\!R-\{0\}}$

 

 

Demostremos ahora que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{1}{x^{2}}}=+\infty}$

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un $N>0$ existe $\delta >0$ tal que $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N\;\;\mbox{siempre que}\;\;0<\vert x-0\vert<\delta}$.

Observe que: $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N \Leftrightarrow x^{2}<\frac{1}{N}\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}<\sqrt{\frac{1}{N}}\Leftrightarrow \vert x\vert<\frac{1}{\sqrt{N}}}$.

Luego, dado $N>0$, escogemos $\delta =\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{N}}}$ de tal forma que se satisfaga que $\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>N \;\;\mbox{cuando}\;\; 0<\vert x\vert<\delta}$.

Si tomamos, por ejemplo, $N=100\;\;\mbox{entonces}\;\;\displaystyle {\frac{1}{x^{2}}>100}$ cuando $0<\vert x\vert<\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{100}}}$, es decir, cuando $0<\vert x\vert<\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$.

 
  Definición 
  Se dice que $f(x)$ decrece sin límite cuando $x$ tiende a $c$, que se denota por $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=-\infty}$, si para todo número real $N<0$, existe una $\delta >0$ tal que $f(x)<N\;\;\mbox{siempre que}{ 0<\vert x-c\vert<\delta}$

 

Gráficamente se tiene que:

 

La definición anterior afirma que es posible hacer $f(x)$ menor que cualquier número negativo $N$, tomando $x$ suficientemente cerca de $c$.

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}\;\;\mbox{para}\;\;x\in I\!\!R-\{4\}}$

 
 
Demostremos ahora que $f(x)=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{\frac{-2}{(x-4)^{2}}=-\infty}}$
Para hacer la prueba debe establecerse que dado un $N<0$, existe $\delta >0\;\;\mbox{talque}\;\;\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}<N}$ siempre que $0<\vert x-4\vert<\delta$
Observe que $\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}<N\Leftrightarrow \frac{-2}{N}>(x-4)^{2}}$(el sentido de la desigualdad cambia pues $N<0$).
Además $\displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{N}}>\sqrt{(x-4)^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{-2}{N}}>\vert x-4\vert}$.
Note que $\displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{N}}}$ sí tiene sentido pues $N<0$
Luego, $\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}<N}$ si y solo si $\vert x-4\vert<\displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{N}}}$ por lo tanto tomamos $\delta =\displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{N}}}$.
Así, dada $N<0$, existe $\delta >0$, $\left(\delta = \displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{N}}}\right)$ tal que $\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}<N}$ siempre que $0<\vert x-4\vert<\delta$
Si por ejemplo, tomamos $N=-200$ entonces $\delta = \displaystyle {\sqrt{\frac{-2}{-200}}}$ o sea $\delta = \displaystyle {\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}}$, por lo que $\displaystyle {\frac{-2}{(x-4)^{2}}<-200}$ siempre que $0<\vert x-4\vert<\displaystyle {\frac{1}{10}}$

 

  Definición
  Se dice que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $c$ por la derecha, y se escribe $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{+}}}{f(x)}=+\infty}$, si se cumple que a cada número positivo $M$ , (tan grande como se quiera), corresponde otro número positivo $\delta$, (que depende de $M$) tal que $f(x)>M\;\;\mbox{siempre que}\;\;0<x-c<\delta$.

 

Similarmente, se dice que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $c$ por la izquierda y se escribe $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{-}}}{f(x)}=+\infty}$ si $f(x)>M$ siempre que $0<c-x<\delta$ (Observe que $c-x$ es mayor que cero pues $x<c$ ya que $x\rightarrow c^{-}$).

-El comportamiento de la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ cuando $x\rightarrow 2$, está regido por la definición anterior.

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

-Los símbolos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{+}}}{f(x)}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ se definen análogamente, escribiendo $f(x)<-M$ en vez de $f(x)>M$. (note que si $M>0$ entonces $-M<0$)

Gráficamente se tiene:

 

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a $c$ por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que $f(x)\rightarrow -\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow c^{-}$ y cuando $x\rightarrow c^{+}$

 

  Definición
  Se dice que $f(x)\rightarrow +\infty$ cuando $x\rightarrow +\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=+\infty}$ si para cada número positivo $M$ existe otro número positivo $k$, tal que $f(x)>M\;\;\mbox{siempre que}\;\;x>k$.

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función $f$ como sigue:

 

Observe que $x_{0}>k$ y que $f(x_{0})>M$

Podemos anotar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=+\infty}$

Ejemplo:

Demostraremos que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x^{3}}=+\infty}$

Para probar este límite, se debe establecer que dado un $M>0$, debe existir $k>0\;\;\mbox{tal que}\;\;x^{3}>M$ siempre que $x>K$

Ahora, como $x^{3}>M$ si y solo si $x>\sqrt[3]{M}$, entonces, para cualquier número $M>0$, podemos tomar $k=\sqrt[3]{M}$ de tal forma que se cumpla que $x^{3}>M\;\;\mbox{cuando}\;\;x>k$.

Por ejemplo, si $M=1000$ entonces $k=\sqrt[3]{1000}=10$. Esto significa que $f(x)=x^3$ es mayor a 1000 siempre que $x$ sea mayor que 10.

La función f definida por $f(x)=x^3$, con $x \in I\!\!R$, tiene como representación gráfica la siguiente

 

 

Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+ \infty}}{f(x)}=- \infty}$, $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}=- \infty}$ y $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}=+ \infty}$

En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores:

a.     $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+ \infty}}{f(x)}=- \infty}$

 

b.  $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}=- \infty}$

 

c.     $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}=+ \infty}$

 

Ejercicio:

En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:

 

a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow{+ \infty}}{f(x)}$ b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow{-2^+}}{f(x)}$ c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow{-2^-}}{f(x)}$ d) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}$

 

a) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{- \infty}}{f(x)}$ b) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{1^-}}{f(x)}$ c) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{1^+}}{f(x)}$ d) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow{+ \infty}}{f(x)}$

Consideraremos ahora la función f definida por $f(x)=\displaystyle \frac{2x}{x+1}$

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$:


a.  

 
b.  

 

En ambas tablas puede observarse que cuando $x$ toma valores positivos o valores negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función $f$ tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{2x}{x+1}}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{2x}{x+1}}=2}$

A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función $f$:

 

Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$

 

  Definición
 

Sea $f$ una función con dominio $k$ tal que para cualquier número $c$ existen elementos de $k$ en el intervalo $[c,+\infty[$.

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a más infinito es $L$, que se representa $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=L}$, si para cada $\varepsilon >0$ existe un número $M$ tal que $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$ para toda $x\in k$ y $x>M$.

 

Ejemplo

Probar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x}{x+2}}=1}$

Hay que demostrar que para $\varepsilon >0$ existe $M$ tal que $\displaystyle {\left\vert\frac{x}{x+2}-1\right\vert<\varepsilon}$ si $x>M,\;\;e\in I\!\!R-\{2\}$

Se tiene que $\displaystyle {\left\vert\frac{x}{x+2}-1\right\vert=\left\vert\frac{x-x-2}{x+2}\right\vert=\left\vert\frac{-2}{x+2}\right\vert=\frac{2}{\vert x+2\vert}}$

Si $x>-2$ entonces $\vert x+2\vert=x+2$ por lo que:

$\displaystyle {\left\vert\frac{x}{x+2}-1\right\vert=\frac{2}{x+2}}$

Luego, dada $\varepsilon >0$ se cumple que $\displaystyle {\left\vert\frac{x}{x+2}-1\right\vert<\varepsilon}$ si y solo si $\displaystyle\frac{2}{x+2}<\varepsilon$, o sea, si $x>\displaystyle {\frac{2}{\varepsilon}-2}$, por lo que podemos tomar $M=\displaystyle {\frac{2}{\varepsilon}-2}$ de tal forma que se verifique que $\left\vert\displaystyle\frac{x}{x+2}-1\right\vert<\varepsilon$ siempre que $x>M$.

Por ejemplo, si $\varepsilon =\displaystyle {\frac{1}{2}}$ entonces $M=2$ por lo que:

$\left\vert\displaystyle\frac{x}{x+2}-1\right\vert<\displaystyle {\frac{1}{2}}\;\;\mbox{si}\;\;x>2$

La representación gráfica de la función es la siguiente:


 
 
  Definición
 

Sea $f$ una función con dominio $k$ tal que para cualquier número $c$, existen elementos de $k$ en el intervalo $]-\infty,c]$.
El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a menos infinito es $L$, que se representa $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=L}$, si para todo $\varepsilon >0$ existe un número $M$ tal que $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$ para cada $x \in K$ y $x<M$.

 

Ejercicio

Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo inmediato anterior, pruebe que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{x}{x+2}}=1}$

 

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