Limites y continuidad

Lic. Elsie Hernández S.

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Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica

Recordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la función logarítmica.

$\begin{array}{ccc} f:\;I\!\!R& \rightarrow & I\!\!R^{+} \\ x & \rightarrow & a^{x} \\ \end{array}$ con

Note que: ${\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{a^{x}}}=+\infty$ y ${\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{a^{x}}}=0$
$\begin{array}{ccc} f:\;I\!\!R& \rightarrow & I\!\!R^{+} \\ x & \rightarrow & a^{x} \\ \end{array}$ con

Note que: ${\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{a^{x}}}=0$ y ${\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{a^{x}}}=+\infty$
Función logarítmica de base

$\begin{array}{ccc} f:\;I\!\!R^{+} & \rightarrow & I\!\!R\\ x & \rightarrow & ln\;x \\ \end{array}$

Observe que: ${\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{ln\;x}}=+\infty$ y ${\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{ln\;x}}=-\infty$

Además ${\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{ln\;x}}=0^{+}$ y ${\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{ln\;x}}=0^{-}$

Si $x\rightarrow 1^{+}$ entonces y $ln\;x>ln\;1$ , o sea $ln\;x>0$ y por tanto $ln\;x\rightarrow 0^{+}$ .

Si $x\rightarrow 1^{-}$ entonces y $ln\;x<ln\;1$ por lo que $ln\;x<0$ y $ln\;x\rightarrow 0^{-}$

Tomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la forma $G(x)=K^{f(x)}$ con constante.

Calculemos los siguientes límites:

En este caso se tiene la función exponencial de base .

Observe que en la expresión $\displaystyle {\frac{2}{2-x}}$ el denominador tiende a cero cuando $x\rightarrow 2$ , por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando $x\rightarrow 2^{+}$ , y cuando $x\rightarrow 2^{-}$

a.

Si $x\rightarrow 2^{+}$ entonces $x>2,\;\;2-x<0$ , por lo que $-x+2\rightarrow 0^{-}\;\;\mbox{y}\;\;\displaystyle {\frac{2}{2-x}\rightarrow -\infty}$ (Teorema 13)

Como $\displaystyle {\frac{2}{2-x}\rightarrow -\infty}\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$ entonces

pues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que .

Luego

b.

Si $x\rightarrow 2^{-}$ entonces $x<2,\;\;2-x>0$ , por lo que $2-x\rightarrow 0^{+}\;\;\mbox{y}\;\;\displaystyle {\frac{2}{2-x}\rightarrow +\infty}$

Como el exponente de la función exponencial tiende a más infinito entonces:

cuando $x\;\rightarrow 2^-$ y por tanto:

Como los límites laterales son diferentes entonces
no existe
Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es $a=\displaystyle {\frac{1}{4}\;\;\mbox{con}\;\;0<\frac{1}{4}<1}$
(Revise la representación gráfica de $f(x)=a^{x}\;\;\mbox{con}\;\;0<a<1$ )

Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresión $\displaystyle {\frac{2x}{x+1}}$ tiende a cero cuando $x\rightarrow -1$

a.

Si $x\rightarrow -1^{+}$ entonces $x>-1\;\;\mbox{y}\;\;x+1>0$ por lo que $x+1\rightarrow 0^{+}$ y como $2x\rightarrow -1$ se tiene que $\displaystyle {\frac{2x}{x+1}\rightarrow -\infty}$

Luego

b.

Si $x\rightarrow -1^{-}$ entonces $x<-1\;\;\mbox{y}\;\;x+1<0$ por lo que $x+1\rightarrow 0^{-}$ y como $2x\rightarrow -1$ entonces $\displaystyle {\frac{2x}{x+1}\rightarrow +\infty}$

Luego

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{2x}{x+1}}}}\;\;\;\neq$ $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{2x}{x+1}}}}$

entonces no existe.
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+1}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}}$

Observe que cuando $x\rightarrow -1$ se tiene que $4x+1\rightarrow -3\;\;\mbox{y}\;\;2x+3\rightarrow 1$ por lo que $ln(2x+3)\rightarrow 0$ . Como el numerador tiende a una constante, y el denominador tiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:

a.

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}}$

Como $x\rightarrow -1^{+}$ entonces $x>-1\;\;\mbox{y}\;\;2x>-2$ por lo que y por tanto , de donde $ln(2x+3)>ln\;1$ y se tiene que $ln(2x+3)\rightarrow 0^{+}$

Luego $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}=-\infty}$

b.

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}}$

Como $x\rightarrow -1^{-}$ entonces $x<-1\;\;\mbox{y}\;\;2x<-2$ por lo que y por tanto , de donde $ln(2x+3)<ln\;1$ o sea que y se tiene que $ln(2x+3)\rightarrow 0^{-}$

Por tanto: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}=+\infty}$

Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{4x+1}{ln\;(2x+3)}}}$ no existe.
Ejercicio $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{x+2}{ln(3-x)}}}$
Ejercicio $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{3}{4ln(2x-1)}}}$
Se deben analizar dos casos:

i.

ii.

Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la función $f(x)=sen\;x$ en los alrededores de $x=\pi$ , pues $sen\;\pi=0$ y $csc\;x=\displaystyle {\frac{1}{sen\;x}}$ por lo que el denominador tiende a cero cuando $x\rightarrow \pi$ .

La representación gráfica de la función , en el intervalo $\left[0,\frac{3\pi}{2}\right]$ es la siguiente:

Observe que cuando $x\rightarrow \pi^{+}$ se tiene que $sen\;x\rightarrow 0^{-}$ y que cuando $x\rightarrow \pi^{-}$ entonces $sen\;x\rightarrow 0^{+}$ , por lo que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{+}}}{\frac{1}{sen\;x}}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{\frac{1}{sen\;x}}=+\infty}$

Ahora analicemos el límite pedido.

i.

Cuando

1) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{+}}}{a^{csc\;x}}=\lim_{x \rightarrow{\pi^{+}}}{a^{\frac{1}{sen\;x}}}=0}$

2) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{a^{csc\;x}}=\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{a^{\frac{1}{sen\;x}}}=+\infty}$

Como los límites laterales son diferentes entonces:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi}}{a^{csc\;x}}}$ no existe.

ii.

Cuando

1) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{+}}}{a^{csc\;x}}=\lim_{x \rightarrow{\pi^{+}}}{a^{\frac{1}{sen\;x}}}=+\infty}$

2) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{a^{csc\;x}}=\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{a^{\frac{1}{sen\;x}}}=0}$

Luego, los límites laterales son diferentes por lo que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\pi}}{a^{csc\;x}}}$ no existe.
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{2}}}{(ln\;3)^{-tan\;x}}}$

En este caso la base de la función exponencial es $ln\;3$ y $ln\;3>1$ .

Como $tan\;x=\displaystyle {\frac{sen\;x}{cos\;x}}$ y $cos\;x\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow \displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ , analicemos la gráfica de $y=cos\;x\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow \displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ , analicemos la gráfica de $y=cos\;x$ en los alrededores de $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$

Si $x\rightarrow \displaystyle {\frac{\pi^{+}}{2}}$ entonces $cos\;x\rightarrow 0^{-}$ por lo que $\displaystyle {\frac{sen\;x}{cos\;x}\rightarrow -\infty}$ y $\displaystyle {\frac{-sen\;x}{cos\;x}\rightarrow +\infty}$ , es decir, $-tan\;x\rightarrow +\infty$

Si $x\rightarrow \displaystyle {\frac{\pi^{-}}{2}}$ entonces $cos\;x\rightarrow 0^{+}$ por lo que $\displaystyle {\frac{sen\;x}{cos\;x}\rightarrow +\infty}$ y $\displaystyle {\frac{-sen\;x}{cos\;x}\rightarrow -\infty}$ , o sea, $-tan\;x\rightarrow -\infty$ .

Luego al calcular los límites laterales se tiene que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{2}^{+}}}{(ln\;3)^{-tan\;x}}=+\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{2}^{-}}}{(ln\;3)^{-tan\;x}}=0}$

Por lo que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{2}}}{(ln\;3)^{-tan\;x}}}$ no existe.
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2\pi}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{cot\;x}}}$ Ejercicio para el estudiante.

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