Lic. Elsie Hernández S.

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Discontinuidades evitables

Si una función f es discontinua en $x=a$ pero se tiene que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}$ existe, entonces sucede que $f(a)$ no existe o que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}$ es diferente de $f(a)$. Ambas situaciones se ilustran a continuación:

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L$ y $f(a)$ no existe $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L$ y $f(a)=m$ ($L\neq m$)


En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse predefiniendo la función de tal forma que $f(a)$ sea igual al resultado del $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}$

Ejemplo

Sea f la función definida por $f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \vert 2 -x\vert & si & x \neq 2 \\ & & \\ 1& si & x=2 \\ \end{array}\right. $

Determinemos si f es continua en $x=2$

Se tiene que $f(2)=1$ y que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\vert 2-x\vert}=\vert 2-2\vert=0}$

Se observa que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe pero es diferente de $f(2)$

Luego, si le asignamos a $f(2)$ el valor de 0 (cero), la función es continua. Puede escribirse de nuevo la definición de f como sigue:

$f(x)=\left \{ \begin{array}{ccc} \vert 2-x\vert & si & x\neq 2 \\ & & \\ 0 & si & x = 2 \\ \end{array}\right.$

Ambas situaciones se ilustran a continuación:

 

 

La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto de discontinuidad no existe.

Ejemplo

Consideremos la función definida por $f(x): \left \{ \begin{array}{ccc} x^2-4 & si & x>2 \\ & & \\ x & si & x<2 \\ \end{array}\right.$

Analicemos la continuidad en $x=2$.

Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sin embargo, si el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe puede redefinirse la función para que sea continua. Calculemos por tanto el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$.

Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^+}}{x^2-4}=0\; \;,\lim_{x \rightarrow{2^-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^-}}{x}=2}$
Como los límites laterales son diferentes entonces $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ no existe y la discontinuidad es inevitable, ya que no podemos redefinir la función.
La representación gráfica de la función f es la siguiente:

 
Ejercicio

Para cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o no continua en el valor de $c$ especificado.

En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no.

Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.

 
1. $f(x)=\left \{ \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{1}{x+5} & si & x\neq -5 & \\ & & & ; c=-5 \\ 0 & si & x=-5 & \\ \end{array}\right.$
 
 
2. $g(t)=\left \{ \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{t^2-4t+3}{t-3} & si & t\neq 3 & \\ & & & ;c=3 \\ 4 & si & t=3 & \\ \end{array}\right.$
 
 
3. $h(r)=\left \{ \begin{array}{cccc} \displaystyle{\frac{\sqrt{r+2}-\sqrt{2}}{r}} & si & r\neq 0 & \\ & & & ;c=0 \\ 2 & si & r=0 & \\ \end{array}\right.$
 

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.