Lic. Elsie Hernández S.

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Generalización del concepto de límite

Sea $f$ una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando $x\rightarrow b$ entonces $f(x)\rightarrow L$ lo que se escribe como:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$

Recordemos que al calcular $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}}$ no importa que la función $f$, esté o no definida en $b$; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función $f$ cualquiera para la que $f(b)=P$:

 

Observe que aunque $f(b)\neq L$, para valores de $x$ próximos a $b$ se tiene que $f(x)\rightarrow L$, por lo que puede escribirse siempre $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función $f$.

En este caso, cuando $x$ tiende a $b$ por la derecha, que se escribe $x\rightarrow b^{+}$, la función tiende a $R$, pero cuando $x$ tiende a $b$ por la izquierda, (denotado $x\rightarrow b^{-}$) los valores de $f(x)$ tienden a T.

Así, la función $f$ no tiende a un mismo valor cuando $x\rightarrow b$, por lo que se dice que no existe $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}}$

Consideremos ahora la función definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-c}}$ con $c>0$, cuya representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando $x\rightarrow c^{+}$, entonces $f(x)$ tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, (es decir, $f(x)\rightarrow +\infty$), y que cuando $x\rightarrow c^{-}$, $f(x)$ toma valores negativos cada vez menores, ( $f(x)\rightarrow -\infty$). Así, $f(x)$ no tiende a ningún número real fijo y se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}$ no existe.

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.