Lic. Elsie Hernández S.

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 Valores máximos y mínimos para funciones continuas

 

  Definición Máximo absoluto y mínimo absoluto 
  Sea f una función real de variable real definida en un conjunto U de números reales.
a.
Se dice que la función f posee un máximo absoluto en el conjunto U, si existe por lo menos un valor c en U tal que $f(x)\leq f(c)$ para todo $x \in U$.
El número $f(c)$ recibe el nombre de máximo absoluto en $f$ en U.
b.
Se dice que f posee un mínimo absoluto en U si existe un valor d en U tal que $f(d)\leq f(x)$ para todo $x \in U$.

 

Ejemplo

Consideremos la función f definida por:
$f(x)= \left \{\begin{array}{ccc} x+1 & si & x<1 \\ & & \\ x^2-6x+7 & si & x \geq 1 \\ \end{array}\right.$

en el intervalo $[-2,4]$

Su representación gráfica en este intervalo es la siguiente:

 

Como $f(x)\leq f(1)$ para todo $x \; \in [-2,4]$ entonces el máximo absoluto de la función es $f(1)=2$

Como $f(x)\geq f(3)$ para todo $x \; \in [-2,4]$ entonces el mínimo absoluto de la función es $f(3)=-2$

Ejemplo


Consideremos la función f definida por:

 


Su representación gráfica es la siguiente:

En este caso $f(x)\leq f(-4)$ para todo $x \in [-4,0[$, por lo que $f(-4)=\displaystyle\frac{-1}{4}$ es el máximo absoluto de $f$.

Sin embargo, esta función no posee un mínimo absoluto.

Note que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{0^-}}{\displaystyle\frac{1}{x}}=-\infty$


  Teorema de acotación para funciones continuas 
  Si f es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ entonces $f$ es acotada en $[a,b]$, es decir, existe un número $k \geq 0$ tal que $\vert f(x)\vert\leq k$ para todo $x \; \in [a,b]$.

Una demostración de este teorema aparece en el libro Calculus de Tom M. Apóstol.

 

Ejemplo


Sea f una función definida por:

 


Su representación gráfica es la siguiente:

 
$f$ es continua para todo $x \; \in \; [1,4]$


Note que $\displaystyle\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$ lo que puede escribirse como $-2 \leq \displaystyle\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$, de donde $-2 \leq f(x) \leq 2$
Luego $\left \vert\displaystyle\frac{2}{x}\right\vert\leq 2$ para $x \; \in \; [1,4]$ por lo que $f$ es acotada en $[1,4]$

Ejemplo  

Considere la función definida por:

 



Su representación gráfica es la siguiente

 
$f$ es continua para todo $x \; \in \; [0,5]$

Se tiene que $\displaystyle\frac{-5}{2}\leq f(x)\leq 2 $ para $x \; \in \; [0,5]$, por

lo que $\displaystyle\frac{-5}{2} \leq f(x) \leq 2 \leq \displaystyle\frac{5}{2}$ de donde $\displaystyle\frac{-5}{2} \leq f(x) \leq \displaystyle\frac{5}{2}$ y por tanto $\vert f(x)\vert \leq \displaystyle\frac{5}{2}$ para $x \in [0,5]$. Luego $f$ es acotada en $[0,5]$

Si una función f es acotada en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces el conjunto de todos los valores de $f(x)$ está acotado tanto superior como inferiormente.

Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados por $sup\; f$ e $inf \;f$ respectivamente. Se escribe entonces:

$sup \;\; f \; = sup \; \; \{f(x)/a \leq x \leq b \}$

$inf \;\; f \; = inf \; \; \{f(x)/a \leq x \leq b \}$

El $sup f$ es el mayor de los $f(x)$ para $x \in \; [a,b]$

El $inf f$ es el menor de los $f(x)$ para $x \in \; [a,b]$

Para cualquier función acotada se tiene que $inf \; \; f \leq f(x) \leq sup \;\; f$ para todo $x \; \in [a,b]$

En el ejemplo inmediato anterior se tiene que el $sup\; f$ es $2$, y que el $inf \;f$ es $\displaystyle{\frac{-5}{2} \left ( \frac{-5}{2} \; \leq f(x) \leq 2 \right )}$

 

 
  Teorema del máximo (mínimo) para funciones continuas  
  Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces existe puntos $c$ y $d$ en $[a,b]$ tales que $f(c)= sup \;\; f$ y $f(d) = inf \;\; f$

Demostración: al final del capítulo

 

Según el teorema, podemos decir que si f es continua en $[a,b]$ entonces el $sup\; f$ es su máximo absoluto, y el $inf \;f$ es su mínimo absoluto. Luego, por el teorema del valor medio, los valores que toma $f$ estarán en el intervalo $[inf \;\; f, \; sup \;\; f]$.

Es indispensable que el intervalo sea cerrado, pues de no serlo, puede ocurrir que aunque una función sea continua en un intervalo abierto, no alcance en él ni su valor máximo ni su valor mínimo.

Ejemplo

Sea $f$ la función definida por:

 

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Observe que aunque $f$ es continua en $\left ] \displaystyle{\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}} \right [$ no posee ni máximo ni mínimo absoluto, o sea no tiene ni $inf \;f$ ni $sup\; f$


Ejemplo

Sea   f  la función definida por

 

En la gráfica siguiente puede apreciarse que $f(x) \geq \displaystyle\frac{1}{4}$ para $x \in \; ]0,4]$, por lo que $inf \;\; f \; = \displaystyle\frac{1}{4}$. Sin embargo $f$ no posee un valor máximo absoluto.

 
 
Note que
   

Ejemplo

 
Sea  f  la función definida por  



Su representación gráfica es la siguiente:

 
 
En este caso, el intervalo en el que está definida la función f sí es cerrado. Note que $f(3) > f(x)$ para $x \in \vert,3\vert$ por lo que existe $c=3$ en $\vert,3\vert$ tal que $f(3) = sup \;\; f$. Además $f(1) > f(x)$ para $x \in \vert,3\vert$, por lo que existe $d=1$ en $\vert,3\vert$ tal que $f(1) = inf \;\; f.$
Se tiene entonces que $sup\; f$ es el máximo absoluto de la función y el $inf \;f$ corresponde a su mínimo absoluto.


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