Lic. Elsie Hernández S.
 

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Teoremas sobre continuidad de funciones
 
  Teorema a
  Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos $U_{1}$ y $U_{2}$ respectivamente y si $U = U_{1} \cup U_{2}$ entonces:
a.
$f+g$ es continua sobre el intervalo U
b.
$f-g$ es continua sobre U
c.
$f\cdot g$ es continua sobre U (Producto de dos funciones)
d.
$\displaystyle\frac{f}{g}$ es continua sobre U, excepto para $a \in U$ tal que $g(a)=0$

Demostración: al final del capítulo.

 

 

 

  Teorema b
  La función f definida por $f(x)= P(x)$, donde $P(x)$ es un polinomio real, es continua para todo número real.

(Recuerde que $P(x)=a_{n}x^n + a_{n-1} x ^ {n-1} + \; ... \; a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$, $a_{n}\neq 0$, $n \; \in \; I\!\!N$, $a_{i} \; \in \; I\!\!R$ para $i \in \{0,1, ..., n\}$)

Demostración: al final del capítulo

 

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

$f(x)= 5x^3-4x^2-6x+1$
$g(x)=\sqrt{2} x^4 - \displaystyle\frac{5}{3}x^3+4x-6$


Ejemplos

1.
La función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{5x^4-3x^3+2x+1}{x^3+2x^2-x-2}$ es continua para todo $x \in I\!\!R- \{-2,-1,1 \}$, ya que  el polinomio en el denominador se hace cero cuando se evalúa en $x=-2$, $x=-1$ o $x=1$

2.
La función $g$ definida por $g(x)= \displaystyle\frac{2x^2+7x+1}{x^2+7x+12}$ es continua para $x \in I\!\!R$ tal que $x\neq -3$ y $x\neq -4$


  Teorema d
  Sean $f$ y $g$ dos funciones tales que $f = \{(x,u)/u = f(x)\} \;\;\;\; g=\{(u,y)/y=g(u)\}$

Además $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=d$ y g es continua en d.

Entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{g[f(x)]}=g \; \left [\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)} \right ]= g(d)}$

Demostración: al final del capítulo.

 

Ejemplo:

Sean $f$ y $g$ dos funciones tales que:

$f(x)=x^2+1$, $g(x)=\sqrt{x}$

Como $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{(x^2+1)}=5}$ y g es continua para $x=5$ pues

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{5}}{\sqrt{x}}=\sqrt{5}=g(5)}$, entonces

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{g[f(x)]}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\lim_{x \rightarrow{2}}{(x^2+1)}}=\sqrt{5}}$  

 

  Teorema e
  Si $g$ es una función continua en $c$ y $f$ es una función continua en $g(c)$, entonces la composición de funciones $f \;o\; g$ es continua en $c$.

Demostración: al final del capítulo.

 

Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo

1.
Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones $g(x)=x^2+2x+1$, $f(x)=\sqrt[4]{x}$.

Note que $g$ es una función polinomial y por lo tanto continua para todo $x \;\in \;I\!\!R$. La función f es continua para $x \;\in \; [0,+\infty[$

Luego la función $h=(f o g)(x)=f(x^2+2x+1)=\sqrt[4]{x^2+2x+1}$ será continua para los valores de x tales que $x^2+2x+1$ sea mayor o igual que cero.

Como $x^2+2x+2=(x+1)^2$ y $(x+1)^2\geq 0 \;\;\forall \;\; x \;\; \in I\!\!R$, entonces la función h será continua para todo valor real.


2.
Consideremos las funciones definidas por  

,$g(x)= 3x+1$ .

La función $f$ es continua para $x\in I\!\!R-\{0\}$, y la función $g$ es continua para todo valor real por ser función polinomial.

Luego la función $h=f\;\; o \;\;g $, dada por $h(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}$ sea continua siempre $3x+1 \neq 0$, es decir, siempre que $x\neq \displaystyle\frac{-1}{3}$.


3.
La función h definida por $h(x)= \ln{\left(\displaystyle\frac{x^2-4}{x+1}\right)}$ es continua siempre que $\displaystyle\frac{x^2-4}{x+1}$ sea mayor que cero.

Esta última condición se satisface cuando

$x \in ]-2,-1[ \;\cup \; ]2, + \infty[$

 
  Teorema f
  La función seno definida por $y=\;sen \;x $ es continua sobre todo su dominio, o sea. sobre todo $I\!\!R$.

Demostración: al final del capítulo.

Ejemplo
La función f definida por $f(x)=\; sen \left(\displaystyle\frac{6}{x} \right )$ es continua siempre que x sea diferente de cero, pues en $x=0$ se tiene que $\displaystyle\frac{6}{x}$ no está definida.

  Teorema g
  La función coseno denotada por $y= \cos x$ es continua sobre todo su dominio $I\!\!R$.

Demostración: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo

La función $h(x)=\sqrt{\cos x}$ puede considerarse como la composición de las funciones con ecuaciones $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=\cos x$. Como la función f es continua para $x\geq 0$ y la función g es continua para todo x en $I\!\!R$, entonces la función h es continua siempre que $\cos x$ sea mayor o igual a cero, lo que sucede cuando:

 $x \in \;\; \left[ \displaystyle{(2n-1)\frac{\pi}{2}, (2n+1)\frac{\pi}{2}}\right]$, $n \in \; Z$, $\vert n\vert$ par.

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