Lic. Elsie Hernández S.

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 Continuidad en un intervalo [a,b]

Una función f definida en un intervalo $[a,b]$, es continua en el intervalo si:

a.
 $f$ es continua para todo $x$ tal que $x \in [a,b]$

 
b. $f$ es continua por la derecha en "a"

 
c. $f$ es continua por la izquierda en "b"

Es decir, f es continua en $[a,b]$ si:

a.     $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{f(x)}=f(x_{0})$  $\forall \;\; x_{0} \in \;\;]a,b[$

 
b. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{a^+}}{f(x)}=f(a)$

 
c. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{b^-}}{f(x)}=f(b)$
 

Ejemplo

Consideremos la función f definida por $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Esta función es continua en el intervalo cerrado $[-2,2]$, ya que si $x_{0} \; \in \;\; ]-2,2[$ se tiene que:
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x_{0}^2}=f(x_{0})$; además
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2^+}}{\sqrt{4-x^2}}=0=f(-2)$, y, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2^-}}{\sqrt{4-x^2}}=0=f(2)$


La representación gráfica de esta función es la siguiente:

 

 
 
 
También se tiene que una función $f$ definida en el intervalo $[a,b[$, es continua en ese intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto $]a,b[$ y es continua por la derecha de "a".

Similarmente, para que una función $f$ definida en el intervalo $]a,b]$ sea continua en ese intervalo, es necesario que $f$ sea continua en el intervalo abierto $]a,b[$ y a la vez que sea continua por la izquierda en "b".


Ejemplo

Consideremos la función definida por $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ en el intervalo $[0,2[$.

Para $x_{0} \in \;\; ]0,2[$, se tiene que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_{0}}}{\frac{1}{\sqrt{2-x}}}=\frac{1}{\sqrt{2-x_{0}}}=f(x_{0})}$

Además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{0^+}}{\frac{1}{\sqrt{2-x}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$, por lo que la función es continua por la derecha en $x=0$.

Luego f es continua en $[0,2[$

Ejemplo

Considere la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{4}{2x+3}$ en el intervalo $\left ]\displaystyle{\frac{-3}{2}},2\right]$.

Pare $c \;\; \in \left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2 \right[$ se tiene que $f(c)=\displaystyle\frac{4}{2c+3}$ y
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{\frac{4}{2x+3}}=\frac{4}{2c+3}}$ por lo que $f$ es continua en $\left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2\right[$


Además, $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^-}}{\frac{4}{2x+3}}=\frac{4}{7}=f(2)}$ y $f$ es continua por la izquierda en 2.


Luego $f$ es continua en el intervalo $\left ]\displaystyle\frac{-3}{2},2\right[$

 

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.