Lic. Elsie Hernández S.

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 Definición de continuidad utilizando y  

Según la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c si $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=f(c)$.

Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $0<\vert x-c\vert<\delta$ entonces $\vert f(x)-f(c)\vert < \epsilon$

 

Sin embargo ahora la restricción $0 < \vert x-c\vert$ no es necesaria, ya que si toma $\vert x-c\vert=0$ entonces $x=c$ y $f(x)=f(c)$ por lo que $\vert f(x)-f(c)\vert=0$ y cero es menor que $\varepsilon$, lo cual cumple con lo que estipula la definición de límite.

Luego puede decirse que

  Definición
  Una función $f$ es continua en $c$ si y solo si para cada $\varepsilon > \;0$ existe $\delta > \;0$ tal que si $\vert x-c\vert\;\; < \;\delta$ entonces $\vert f(x)-f(c)\vert\; < \; \varepsilon$.
 


 

Note que si la función $f$ es continua en c, entonces el punto $(c,f(c))$ está en la gráfica de f y existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto $(c,f(c))$.

Según la definición dada de continuidad, dada una $\epsilon >0$ y para cualquier selección de las rectas cuyas ecuaciones son $y=f(c)-\epsilon$, $y=f(c)+\epsilon$, existen rectas con ecuaciones $x=c-\delta$, $x=c-\delta$ tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas, queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas ya mencionadas, como se muestra en la figura siguiente:

 

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.