Lic. Elsie Hernández S.

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Continuidad y funciones

Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre continuidad, daremos las siguientes definiciones.

 

  Definición: Función estrictamente creciente  
   Se dice que una función f definida en un intervalo $[a,b]$ es estrictamente creciente, si para cada $x_{1} \; \in \; [a,b]$, $x_{2} \; \in \; [a,b]$ con $x_{1}\;<\;x_{2}$ se tiene que $f(x_{1}) < f(x_{2})$ 

 

  

 

  Definición: Función estrictamente decreciente
  Similarmente, una función f es estrictamente decreciente si $x_{1}<x_{2}$ pero $f(x_{1})>f(x_{2})$

 
 

 

Por ejemplo, la función con ecuación $f(x)=x^2-1$ es estrictamente creciente en el intervalo de $[0,2]$, como se muestra en la gráfica siguiente:

 

La función con ecuación $f(x)=-\sqrt[3]{x}$ es decreciente en el intervalo $[-8,1]$ como se muestra en la figura siguiente:

 

Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por $y=f(x)$, que es continua y estrictamente creciente en un intervalo $[a,b]$

 

Según el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe por lo menos un $x \; \in \; [a,b]$ tal que $y=f(x)$. En este caso, como f es una función estrictamente creciente, si $y \; \in \; [f(a),f(b)]$, existe un único valor $x \; \in \; [a,b]$ tal que $y=f(x)$

Podría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente, de tal forma que x sea igual a $g(y)$. Esta nueva función g recibe el nombre de función inversa de la función f y se denota por $f^{-1}$.

 

  Definición: Función inversa
  Sea f una función determinada por $\{(x,y)/y=f(x)\}$

Si existe una función $f^{-1}$ tal que $x=f^{-1}(y)$ si y solo si $y=f(x)$, entonces $f^{-1}$ recibe el nombre de función inversa y está determinada por $\{(y,x)/x=f^{-1}(y)\}$

El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y el rango de $f^{-1}$ es el dominio de f.

 

Así:
$\begin{array}{ccc} f:[a,b] & \rightarrow & [f(a),f(b)]\\ & & \\ x & \right... ...ightarrow & [a,b] \\ & & \\ y & \rightarrow & x = f^{-1}(y) \\ \end{array}$

Por ejemplo, la función $\begin{array}{ccc} f:[0,+\infty[ & \rightarrow & [1,+\infty[ \\ & & \\ x & \rightarrow & x^2+1 \\ \end{array}$

tiene como función inversa, la función definida por

$\begin{array}{ccc} f^{-1}:[1,+\infty[ & \rightarrow & [0,+\infty[ \\ & & \\ x & \rightarrow & \sqrt{x-1} \\ \end{array}$

La representación gráfica de ambas funciones es la siguiente

 
Note que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la función identidad.

 

Propiedades de las funciones inversas

 

  Teorema k
  Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo $[a,b]$, entonces:
1.
existe la función inversa $f^{-1}$ en el intervalo $[f(a),f(b)]$

2.
$f^{-1}$ es estrictamente creciente en $[f(a),f(b)]$

3.
$f^{-1}$ es continua en $[f(a),f(b)]$

Demostración: al final del capítulo

 
 

Ejemplo

Sea f la función definida por: $\begin{array}{ccc} f: [1,+ \infty [& \rightarrow & [0,+\infty[ \\ & & \\ x & \rightarrow & x^2-1 \\ \end{array}$

Su representación gráfica es la siguiente:

 
Se observa que f es continua y estrictamente creciente en $[1,+\infty[$. Luego, según el teorema existe una función inversa $f^{-1}$ que también es continua y estrictamente creciente.

Dicha función está definida de la manera siguiente:


$\begin{array}{ccc} f^{-1}: [0,+\infty[ & \rightarrow & [1,+\infty[ \\ & & \\ x & \rightarrow & \sqrt{x+1} \\ \end{array}$

Su representación gráfica es la siguiente:

 
 
 
  Teorema L
  Si una función $f$ es continua y estrictamente decreciente en un intervalo $[a,b]$ entonces:
1.
f posee una función inversa denotada $f^{-1}$, definida en $[f(a),f(b)]$
2.
$f^{-1}$ es decreciente en $[f(a),f(b)]$
3.
$f^{-1}$ es continua en $[f(a),f(b)]$

Ejemplo

Consideremos la función f definida como sigue:

$\begin{array}{ccc} f:]-\infty,0] & \rightarrow & [0,+\infty[ \\ & & \\ x & \rightarrow & \sqrt{-x} \\ \end{array}$
Su representación gráfica es la siguiente:

 
La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:

$\begin{array}{ccc} f^{-1}:[0,+\infty[ & \rightarrow & ]-\infty,0] \\ & & \\ x & \rightarrow & -x^2 \\ \end{array}$

Su representación gráfica es la siguiente:
 

Ejercicios

1.
Sea f la función definida por $\begin{array}{ccc} f:[-3,0] & \rightarrow & [-8,1] \\ & & \\ x & \rightarrow & -(x+2)^3 \\ \end{array}$

Represente gráficamente esta función.
Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine $f^{-1}$ y haga la respectiva representación gráfica.


2.
Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. para

 

Nota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuando estudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.
 

 

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