Lic. Elsie Hernández S.

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 Introducción

"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier  (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.

 A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:

Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.

Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.

 Una definición matemática satisfactoria   de continuidad, expresada  enteramente por medio de las  propiedades del  sistema de los números reales,  fue  formulada   por  primera vez  en  1821 por el  matemático  francés  Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)". (Apóstol, 1977, 156)

Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiento de algunas funciones que no son continuas.

a.
Sea f la función definida por $f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} x+1 & si \; \;x \geq -2 \\ & \\ -x & x < -2 \\ \end{array}\right.$

Su representación gráfica es la siguiente:
 
 
 

 
 
En este caso la función f está definida en $-2$ pues $f(-2)=-1$.

Sin embargo el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}$ no existe ya que

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-2^+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{-2^+}}{(x+1)}=-1}$, y, $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-2^-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{-2^-}}{(-x)}=2}$

y se tiene que los límites laterales son distintos.


b.
Sea g la función definida por $g(x)=\displaystyle\frac{1}{x-2}$ para $x \in I\!\!R$, $x\neq 2$

Su representación gráfica es la siguiente

 

 

 
 
Note que la función g no está definida en 2 y que además $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{g(x)}}$ no existe pues $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^+}}{g(x)}=+\infty}$ y $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^-}}{g(x)}=-\infty}$
 
c.
Consideremos ahora la función h definida por:

$h(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \sqrt{x} & si & x > 1 \\ & & \\ 2 & si & x =1 \\ & & \\ x & si & x < 1 \\ \end{array}\right.$

Su representación gráfica es la siguiente:

 

 

 
 
En este caso, la función h está definida en 1 pues $h(1)=2$, además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1}}{h(x)}}$ existe y es igual a 1, pero $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1}}{h(x)\neq h(1)}}$

Puede observarse que las gráficas de las funciones f, g y h, presentan "saltos bruscos" o discontinuidades en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, en los que aún cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe, o su valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecer condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. De los ejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguiente definición.

 

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