Lic. Elsie Hernández S.

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Formalización de la idea intuitiva de límite

En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función $f$ con ecuación $f(x)=x^{2}-1$ en las proximidades de 2.

Expresamos como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=3}$, el hecho de que para acercar los valores de la función tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente $x$ al valor 2, ($x\neq 2$).

De otra forma, puede decirse que $\vert f(x)-3\vert$ es tan pequeño como se quiera, siempre que $\vert x-2\vert$ sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.

Utilizaremos las letras griegas $\varepsilon$ (epsilon) y $\delta$ (delta) para escribir en forma más precisa lo anterior.

$\varepsilon\;\;\mbox{y}\;\;\delta$ son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y 2 respectivamente.

Se dice entonces que $\vert f(x)-3\vert$ será menor que $\varepsilon$, siempre que $\vert x-2\vert$ sea menor que $\delta$ y $\vert x-2\vert\neq 0$.

Luego, si para cada $\varepsilon >0$ puede encontrarse un $\delta >0$ tal que $\vert f(x)-3\vert< \varepsilon\;\;\mbox{si}\;\;0<\vert x-2\vert<\delta$, entonces se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=3}$

Observe que se establece la condición $0<\vert x-2\vert$, ya que únicamente nos interesa saber como es $f(x)$ para valores de $x$ cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso $\vert x-2\vert$ sería igual a cero.

Gráficamente tenemos:

 

Se tiene que, en el eje $Y$, los valores $f(x)$ están entre $3-\varepsilon$ y $3+\varepsilon$, siempre que los valores de $x$, en el eje de $X$, se localicen entre $2-\delta\;\;\mbox{y}\;\;2+\delta$, o sea $\vert f(x)-3\vert< \varepsilon\;\;\mbox{si}\;\;0<\vert x-2\vert<\delta$.

En general, el valor de $\varepsilon$ es escogido arbitrariamente, pero la elección de $\delta$ depende de la elección previa de $\varepsilon$. No se requiere que exista un número $\delta$ "apropiado" para todo $\varepsilon$, si no que, para cada $\varepsilon$ existe un $\delta$ específico.

Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de $\varepsilon$, más pequeño será el valor del correspondiente $\delta$.

Luego, para el ejemplo 1, decimos que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=3}$, pues para cada $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$, tal que $\vert f(x)-3\vert<\varepsilon$, siempre que $0<\vert x-2\vert<\delta$.

En general, para una función $f$ cualquiera, el $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$ significa que "la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente que $x$ esté suficientemente próximo a $b$, $(x\neq b)$".

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