Lic. Elsie Hernández S.

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23

 

 

 

Algunas propiedades de las funciones continuas

Daremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuya interpretación geométrica parece hacerlas evidentes.
 
  Teorema h
  Sea f una función continua en c tal que $f(c) \neq 0$.
Existe entonces un intervalo $]c-\delta, c+\delta[$ en el que f tiene el mismo signo que $f(c)$.

Demostración: al final del Capítulo.  

Gráficamente se tiene:

En este caso $f(x)>0$ para x cercano a c, pues $f(c)>0$


  Teorema de Bolzano
  Sea f una función continua en cada punto de un intervalo cerrado $[a,b]$, de donde $f(a)$ y $f(b)$ tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto $x=c$ en el intervalo abierto $]a,b[$ tal que $f(c)=0$

Demostración: al final del capítulo.

 

Geométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:
la gráfica de la función continua con ecuación $y=f(x)$, que une los puntos $P(a,f(a))$ y $Q(b,f(b))$, donde $f(a)<0$ y $f(b)>0$, (o bien $f(a)>0$, $f(b)<0$), corta o interseca el eje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:

Note que $f(c)=0$ En este caso $f(c_{1})=0$, $f(c_{2})=0$ y $f(c_{3})=0$

Ejemplos

1.
Consideremos la función f con ecuación $f(x)=x^3-4$ en el intervalo $[-1,2]$.

Como $f(-1)=-5$, $(-5<0)$, $f(2)=4$, $(4>0)$, entonces existe por lo menos un $x=c$ en $[-1,2[$ tal que $f(c)=0$.
En este caso $c=\sqrt[3]{4}$.

Gráficamente se tiene:
 

2.
Consideremos ahora la función con ecuación $f(x)=x^3-2x^2-4x$ en el intervalo $[-2,4]$

Como $f(-2)=-8$ y $f(4)=16$, entonces existe por lo menos un valor $x=c$ en el intervalo     tal que $f(c)=0$
La representación gráfica de la función es la siguiente:

 

Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en $x=0$, y en un valor entre 3 y 4. Resolviendo $f(x)=0$ se obtiene que $c_{1}=1- \sqrt{5}$, $c_{2}=0$, $c_{3}=1+ \sqrt{5}$

 

  Teorema del valor intermedio para funciones continuas.
  Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo $[a,b]$. Sin $x_{1}$ y $x_{2}$ son dos puntos cualesquiera de $[a,b]$ tales que $x_{1}<x_{2}$ y $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$, entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre $f(x_{1})$ y $f(x_{2})$ por lo menos una vez en el intervalo $]x_{1},x_{2}[$.

Demostración: al final del Capítulo.

 

Gráficamente se tiene lo siguiente:

 

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes $f(x_{1})=A$, $f(x_{2})=B$, siempre se encontrará un punto $x=C$, comprendido entre $x_{1}$ y $x_{2}$, tal que $f(c)=k$, cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.

Ejemplo
Consideremos la función f con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ definida en el intervalo $\left [ \displaystyle\frac{1}{2},4 \right]$, cuya representación gráfica es la siguiente:

 

En este caso $f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=2$ y $f(4)=\displaystyle\frac{1}{4}$ (obviamente $2 \neq \displaystyle\frac{1}{4}$ )

Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre $\displaystyle\frac{1}{2}$ y 4 cuya imagen esté comprendida en $2$ y $\displaystyle\frac{1}{4}$.

Si $f(x)=1$ existe $x=1$, $\left(1 \;\; \in \;\; \left ] \displaystyle\frac{1}{2}, 4 \right [ \;\right)$ tal que $f(1)=1$

Si $f(x)=\displaystyle\frac{3}{2}$ existe $x=c$, $\left(c \;\; \in \;\; \left ] \displaystyle\frac{1}{2}, 4 \right [ \;\right)$ tal que $f(c)=\displaystyle\frac{3}{2}$; en este caso $c=\displaystyle\frac{2}{3}$

Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente cuando la función es continua en un intervalo dado.

En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.

Por ejemplo, consideremos la función $g$ en el intervalo $[0,2]$ definida por la siguiente ecuación:

$g(x)=\left \{ \begin{array}{ccc} 2x^2+1 & si & x \in \;\; [0,1[ \\ & & \\ -x + \displaystyle\frac{3}{2} & si & x \in \;\; [1,2] \\ \end{array}\right.$

La representación gráfica es la siguiente:

 

Note que la función es discontinua en el intervalo $[0,2]$, pues en $x=1$, el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}$ no existe. Se tiene que $f(0)=1$ y que $f(2)=\displaystyle\frac{-1}{2}$.

Si se toma un valor k entre $\displaystyle\frac{1}{2}$ y 1, $\left (\displaystyle\frac{1}{2}\;\;< \;k \;< 1 \right)$, no existe ningún valor C entre 0 y 2, tal que $f(c)=k$, pues la función nunca toma valores entre $\displaystyle\frac{1}{2}$ y 1. Si se trazara una recta con ecuación $y=\displaystyle\frac{3}{4}$, ésta nunca intersecaría a la curva.

De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el Teorema.

 

Volver
Revista digital Matemática, Educación e Internet.