Lic. Elsie Hernández S.

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Definición de límite

Sea $f$ una función definida en una vecindad del punto $(b,0)$.


  Definición 
 

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$, si para cada número positivo $\varepsilon$, por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo $\delta$, tal que para todos los valores de $x$, diferentes de $b$, que satisfacen la desigualdad $\vert x-b\vert<\delta$, se verificará la desigualdad $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$.

 


Luego, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0,\;\;\mbox{existe}\;\;\delta>0$ tal que si $0<\vert x-b\vert<\delta$, entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$.

En forma gráfica se tiene:

para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$

 
tal que si  $0<\vert x-b\vert<\delta$ entonces  $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$

 

También el $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$ puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad $\vert x-b\vert<\delta$ se deduce que $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$, entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación $y=f(x)$, que corresponden a los puntos $x$ que se localizan a una distancia no mayor que $\delta$ del punto $b$, se encontrarán dentro de una franja de ancho $2\varepsilon$,limitada por las rectas $y=L-\varepsilon,\;\;y=L+\varepsilon$, como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los valores de la función $f(x)$ se aproximan a un límite $L$, conforme $x$ se aproxima a un número $b$, sí el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)\;\;\mbox{y}\;\;L$ se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando $x$ suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".

Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:

Ejemplo:

a.
Probar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{(2x-1)}=3}$
Solución:

Debe probarse que dado $\varepsilon >0,\;\;\mbox{existe}\;\;\delta>0$ tal que $\vert(2x-1)-3\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert x-2\vert<\delta$.

Vamos a establecer una relación entre $\vert(2x-1)-3\vert\;\;\mbox{y}\;\;\vert x-2\vert$.

Como $\vert(2x-1)-3\vert=\vert 2x-1-3\vert=\vert 2x-4\vert=\vert 2(x-2)\vert=\vert 2\vert\vert x-2\vert$ o sea $\vert(2x-1)-3\vert= 2\vert x-2\vert$.

Entonces, para hacer $\vert(2x-1)-3\vert$ menor que $\varepsilon$, es suficiente que $\vert x-2\vert<\displaystyle {\frac{\varepsilon}{2}}$, por lo que puede tomarse $\displaystyle {\delta =\frac{\varepsilon}{2}}$.

Luego, dado $\varepsilon >0$, existe $\delta >0,\;\;(\delta=\displaystyle {\frac{\varepsilon}{2}})$ tal que si $0<\vert x-2\vert<\delta$ entonces $\vert(2x-1)-3\vert<\varepsilon$.

b.
Probar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{(4x-1)}=11}$
Solución:

Dada $\varepsilon >0$, debe encontrarse $\delta >0$ tal que $\vert(4x-1)-11\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert x-3\vert<\delta$.

Como $\vert(4x-1)-11\vert=\vert 4x-1-11\vert=\vert 4x-12\vert=\vert 4(x-3)\vert= 4\vert x-3\vert$ entonces para que $\vert(4x-1)-11\vert$ sea menor que $\varepsilon$ es suficiente que $\vert x-3\vert<\displaystyle {\frac{\varepsilon}{4}}$ por lo que podemos tomar $\delta=\displaystyle {\frac{\varepsilon}{4}}$.

Luego, dado $\varepsilon >0$, existe $\delta >0,\;\;(\delta=\displaystyle {\frac{\varepsilon}{4}})$ tal que $\vert(4x-1)-11\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert x-3\vert<\delta$.

c.
Probar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{(x^{2}+2x)}=3}$
Solución:

Debe encontrarse $\delta$ en términos de $\varepsilon,\;\;(\varepsilon >0\;\;\mbox{dada})$, tal que $\vert x^{2}+2x-3\vert$ sea menor que $\epsilon$ cuando $0 \; < \vert x-1\vert< \;\delta$. Se tiene que $x^2+2x-3=\vert(x-1)(x+3)\vert=\vert x-1\vert\cdot \vert x+3\vert$

Como lo que nos interesa es el límite cuando $x$ tiende a 1, vamos a considerar los valores de $x$ que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.

Así, tomamos $\vert x-1\vert<1$ de donde $-1<x-1<1$ y por tanto $0<x<2$.

Vamos a determinar un número $r$ para el que $\vert x+3\vert<r$ cuando $\vert x-1\vert<1$.

De la desigualdad $0<x<2$ se obtiene que $3<x+3<5$ por lo que $\vert x+3\vert<5$ y puede tomarse $r=5$.

Luego $\vert x-1\vert\cdot \vert x-3\vert<5\cdot \vert x-1\vert$ cuando $\vert x-1\vert<1$

Además $5\vert x-1\vert$ es menor que $\varepsilon\;\;\mbox{si}\;\;\vert x-1\vert<\displaystyle {\frac{\varepsilon}{5}}$

Por tanto, si se toma $\delta$ como el menor de los números $1\;\;\mbox{y}\;\;\displaystyle {\frac{\varepsilon}{5}}$ entonces $\vert x^{2}+2x-3\vert<\varepsilon$ cuando $0<\vert x-1\vert<\delta$

Por ejemplo, si se toma $\varepsilon = 1$ entonces $\delta = \displaystyle {\frac{1}{5}}$ y $\vert x^{2}+2x-3\vert=\vert x-1\vert\cdot \vert x+3\vert<5\vert x-1\vert<1$ cuando $0<\vert x-1\vert<\displaystyle {\frac{1}{5}}$

En general, el determinar el $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}}$ mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.

Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje $X$.

Ejemplo:

Determinar: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{f(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{f(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4.5}}{f(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{7}}{f(x)}}$ utilizando para ello la siguiente representación gráfica de la función $f$:

Solución

A partir de la gráfica de $f$ se tiene que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{f(x)}=3}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=0}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{f(x)}=-2}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4.5}}{f(x)}=0}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=1}$, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{7}}{f(x)}=2}$

Ejercicio:

Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función $g$, que se da a continuación:

 

a.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3}}{g(x)}}$
e.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{g(x)}}$
b.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{g(x)}}$
f.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{g(x)}}$
c.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{g(x)}}$
g.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}}$
d.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{g(x)}}$

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