Lic. Elsie Hernández S.

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 Teoremas sobre límites infinitos

 

  Teorema 12 
 

Si $n$ es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{1}{x^{n}}}=+\infty}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{1}{x^{n}}}=+\infty}$ si $n$ es par

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{1}{x^{n}}}=-\infty}$ si $n$ es impar

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{1}{x}}=+\infty}$ en este caso $n=1$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{1}{x}}=-\infty}$ con $n=1$

    Gráficamente se tiene que:

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{1}{x^{5}}}=+\infty}$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{1}{x^{7}}}=-\infty}$

  5. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{1}{x^{6}}}=+\infty}$

  6. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{1}{x^{4}}}=+\infty}$

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{1}{x^{8}}}}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{2}{x^{3}}}}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0^{-}}}{\frac{5}{x^{6}}}}$
  Teorema 13
 

Si $c$ es cualquier número real, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=c}$ con $c\neq 0$, entonces:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{g(x)}{f(x)}}=+\infty}$ si se tiene que $c>0$ y $f(x)\rightarrow 0^{+}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{g(x)}{f(x)}}=-\infty}$ si se tiene que $c>0$ y $f(x)\rightarrow 0^{-}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{g(x)}{f(x)}}=-\infty}$ si se tiene que $c<0$ y $f(x)\rightarrow 0^{+}$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{g(x)}{f(x)}}=+\infty}$ si se tiene que $c<0$ y $f(x)\rightarrow 0^{-}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos: de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{2x}{x-2}}}$

    Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada $\displaystyle {\frac{4}{0}}$.

    Como la expresión $x-2$ puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a través de valores negativos, estudiaremos los límites laterales como sigue:

     
    a.   $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{2x}{x-2}}=+\infty}$

    Como $x\rightarrow 2^{+}$, entonces $x>2$ por lo que $x-2>0$ y se dice que $x-2\rightarrow 0^{+}$. Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a $0^{+}$.

    Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{2x}{x-2}}=+\infty}$

b.

 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\frac{2x}{x-2}}}$

Como $x\rightarrow 2^{-}$, entonces $x<2$ por lo que $x-2<0$ y se tiene que $x-2\rightarrow 0^{-}$. Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a $0^{-}$ aplicando la parte 2 del teorema anterior se obtiene que
Como los límites laterales son diferentes decimos que no existe.

 
  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{3x}{2x+2}}}$

Observe que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{3x}=-3}$ y que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{(2x+2)}=0}$

Como la expresión $2x+2$ puede tender hacia cero a través de valores positivos o a través de valores negativos debemos calcular los límites laterales de la siguiente forma:

 

a. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\frac{3x}{2x+2}}}$

Como $x\rightarrow -1^{+}$ entonces $x>-1$ por lo que $2x>-2$ y $2x+2>0$ de donde $2x+2\rightarrow 0^{+}$.

Así el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a $0^{+}$, por lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\frac{3x}{2x+2}}=-\infty}$

 

b.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{\frac{3x}{2x+2}}}$

Como $x\rightarrow -1^{-}$ entonces $x<-1$ y $2x<-2$ de donde $2x+2<0$ y puede decirse que $2x+2\rightarrow 0^{-}$.

Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a $0^{-}$, por lo que aplicando la parte 4 del teorema anterior se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{3x}{2x+2}}=+\infty}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{\frac{3x}{2x+2}}\neq \lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{\frac{3x}{2x+2}}}$ entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{3x}{2x+2}}}$ no existe.

Ejercicio:

Calcular cada uno de los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{\frac{1-x}{3x+6}}}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{\frac{2-x}{2-\frac{x}{2}}}}$

 

  Teorema 14
  Sean $f$ y $g$ funciones con dominios $D_{1}\;\;\mbox{y}\;\;D_{2}$ respectivamente y sea "a" un número tal que todo intervalo abierto que contenga a "a" contiene números diferentes de "a" en $D_{1}\cap D_{2}$.

Si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=c}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=+\infty}$ entonces

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)+g(x)]}}=+\infty$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}}=+\infty$si $c>0$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}}=-\infty$ si $c<0$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}=0$

Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

 
a. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{{\left(5x+\frac{6}{(2x-4)^{2}}\right)}}}$

En este caso $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{5x}}=10$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{6}{(2x-4)^{2}}}}=+\infty$ pues $(2x+4)^2\rightarrow 0^{+}$ y en el numerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado anterior al aplicar la parte 1 del teorema 13.

Luego: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{{\left(5x+\frac{6}{(2x-4)^{2}}\right)}}=+\infty}$

 
b. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\frac{2-x}{x+3}}}$
 
 Este límite anterior puede escribirse como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{{\left((2-x)\cdot \frac{1}{x+3}\right)}}}$ siendo $f(x)=(2-x)$ y $g(x)=\displaystyle {\frac{1}{x+3}}$

Calculamos el $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\frac{1}{x+3}}}$

Como $x\rightarrow -3^{+}$ entonces y ; además la constante en el numerador es positiva por lo que aplicando la parte 1 del teorema 13 se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{{\frac{1}{x+3}}}=+\infty}$

Ahora, el $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{(2-x)}=5,\;\;(5>0)}$ y aplicando la parte 2 del teorema anterior se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\left[(2-x)\cdot \frac{1}{x+3}\right]}=+\infty}$

 
c.
 $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\frac{2x}{x+3}}}$
 Este límite puede escribirse como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\left[2x\cdot \frac{1}{x+3}\right]}}$ sabemos que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\frac{1}{x+3}}=+\infty}$ y además $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{2x}=-6,\;\;(-6<0)}$ por lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior concluimos que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3^{+}}}{\frac{2x}{x+3}}=-\infty}$
d. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{\left[\frac{2x+3}{\frac{1}{x-1}}\right]}}$
 
En este caso se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{2x+3}=5}$ y que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{\frac{1}{x-1}}=+\infty}$  por parte 1 del teorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema 14 concluimos que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{\left[\frac{2x+3}{\frac{1}{x-1}}\right]}=0}$
  Teorema 15
  Sean $f$ y $g$ dos funciones, "a" un número con la propiedad mencionada en el teorema 14.

Si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=c}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=-\infty}$ entonces:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)+g(x)]}}=-\infty$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}}=-\infty$si $c>0$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}}=+\infty$ si $c<0$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}=0$
Prueba: Similar a la del teorema 14.

 

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\left[\frac{1}{\frac{x}{2}-1}+4x\right]}}$

    En este caso $f(x)=4x$ y $g(x)=\displaystyle {\frac{1}{\frac{x}{2}-1}}$

    Calculemos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\frac{1}{\frac{x}{2}-1}}}$

    Si $x\rightarrow 2^{-}$ entonces $x<2,\;\displaystyle {\frac{x}{2}<1\;\;\mbox{y}\;\;\frac{x}{2}-1<0}$ por lo que puede decirse que $\displaystyle {\frac{x}{2}-1\rightarrow 0^{-}}$

    Como la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13 se deduce que:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\frac{1}{\frac{x}{2}-1}}}=-\infty$

    Por otra parte $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{4x}}=8$, y aplicando el punto 1 del teorema 15 se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^-}}{\left[\frac{1}{\frac{x}{2}-1}+4x\right]}=-\infty}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left(\frac{3x}{\frac{x}{2}-1}\right)}}$

Este límite puede escribirse como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left[3x\cdot\frac{1}{\frac{x}{2}-1}\right]}}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{3x}=6}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left(\frac{1}{\frac{x}{2}-1}\right)}=-\infty}$ , aplicando la parte 2 del teorema 15 se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left(\frac{3x}{\frac{x}{2}-1}\right)}=-\infty}$

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left(\frac{1-4x}{\frac{x}{2}-1}\right)}}$

El límite anterior puede escribirse como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left[(1-4x)\cdot\frac{1}{\frac{x}{2}-1}\right]}}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{1-4x}=-7,\;\;(-7<0)}$, y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\frac{1}{\frac{x}{2}-1}}=-\infty}$, entonces aplicando el punto 3 del teorema 15 se obtiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left(\frac{1-4x}{\frac{x}{2}-1}\right)}=+\infty}$

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{5+x}{(9-3x)^{-1}}}=\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{5+x}{\frac{1}{9+3x}}}}$

En este caso se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{(5+x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{+}}}{\frac{1}{9+3x}}=-\infty}$ por parte 2 del teorema 13 (compruébelo). Luego aplicando el punto 4 del teorema 15 se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{5+x}{\frac{1}{9+3x}}}=0}$

Ejercicios: aplicación de los teoremas 13,14 y 15

Calcule los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{\frac{5x}{2+x}}}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{\frac{2-x}{2x-8}}}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{\frac{3x}{\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)^{-1}}}}$
  Teorema 16
  Si $f$ y $g$ son funciones tales que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=+\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=+\infty}$ entonces se cumple que:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)+g(x)]}=+\infty}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)\cdot g(x)}=+\infty}$
Prueba: Ejercicio para el estudiante.

 

Ejemplo:

Determinar el límite siguiente

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\left[\frac{2}{(x-2)^{2}}+\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right]}}$

En este caso calculemos: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{2}{(x-2)^{2}}}}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}}}$

Como $x\rightarrow 2^{+}$ entonces $x>2$ y $x-2>0$ por lo que $(x-2)^{2}>0$ y $\sqrt{x-2}>0$ o sea $(x-2)^{2}\rightarrow 0^{+}$ y $\sqrt{x-2}\rightarrow 0^{+}$. Luego, se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{2}{(x-2)^{2}}}=+\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}}=+\infty}$ (por teorema 13), y concluimos de acuerdo al teorema anterior que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\left[\frac{2}{(x-2)^{2}}+\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right]}=+\infty}$

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\left[\frac{2}{(x-2)^{2}}\cdot \frac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right]}=+\infty}$

Ejercicio

Calcule cada uno de los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{\left[\frac{3x}{2-2x}+\frac{5}{x-1}\right]}}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{\left[\frac{15x}{(2-2x)(x-1)}\right]}}$
  Teorema 17
  Si $f$ y $g$ son funciones tales que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=-\infty}$ entonces:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)+g(x)]}=-\infty}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}=+\infty}$
Prueba: Ejercicio para el estudiante

 

Ejemplo:

Calculemos:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{2-x}{x+3}}}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{2x}{(x+3)^{2}}}}$

Como $x\rightarrow -3^{-}$ entonces $x<-3$ por lo que $x+3<0$, o sea $x+3\rightarrow 0^{-}$ y $(x+3)^{2}\rightarrow 0^{+}$. Luego, se tiene que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{2-x}{x+3}}=-\infty}$ (por teorema 13 parte 2) y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\frac{2x}{(x+3)^{2}}}=-\infty}$ (por teorema 13 ).

Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\left[\frac{2-x}{(x+3)}+\frac{2x}{(x+3)^{2}}\right]}=-\infty}$ y

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3^{-}}}{\left[\frac{2-x}{x+3}\cdot \frac{2x}{(x+3)^{2}}\right]}=+\infty}$

Ejercicio

Calcule los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left[\frac{3+x}{x-2}+\frac{x-5}{\sqrt{2-x}}\right]}}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{\left[\frac{3+x}{x-2}\cdot \frac{x-5}{\sqrt{2-x}}\right]}}$
  Teorema 18
  Si $f$ y $g$ son funciones tales que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=+\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=-\infty}$ entonces:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}=-\infty}$

 
Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplo:

Calculemos:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{3x}{x-2}}}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{1-x}{x-2}}}$

Como $x\rightarrow 2^{+}$ entonces $x-2\rightarrow 0^{+}$ además $3x\rightarrow 6$ y $1-x\rightarrow -1$ cuando $x\rightarrow 2^{+}$. Luego, se tiene que: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{3x}{x-2}}=+\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\frac{1-x}{x-2}}=-\infty}$ y aplicando el teorema anterior tenemos que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{\left[\frac{3x}{x-2}\cdot\frac{1-x}{x-2}\right]}=-\infty}$

Ejercicio:

Calcule $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{2x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x+1}}}$

Nota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuando $x\rightarrow a^{+},\;\;a^{-},\;\;a^{+\infty}\;\;\mbox{y}\;\;a^{-\infty}$

 

  Teorema 19
  Si $p>0$ entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{x^{p}}}=0}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{x^{5}}}=0}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{5}{x^{2}}}=5\cdot\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{x^{2}}}=5\cdot 0=0}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left(\frac{x+2}{x^{3}}\right)}=\l... ...m_{x \rightarrow{+\infty}}{\left(\frac{1}{x^2}\;+\;\frac{2}{x^3}\right)}=0+0=0}$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{3}{x+1}}=\lim_{x \rightarrow... ...}{\left(\frac{3}{x}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)}=0\cdot \frac{1}{1+0}=0}$

  5. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}}=0}$
  Teorema 20
  Si $p$ es un número positivo tal que $x^{p}$ es un número real para $x<0$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{1}{x^{p}}=0}}$

Prueba: Similar a la del teorema 19.

 

Nota: observe que, como $x$ está creciendo a través de valores negativos es necesario que $x^{p}$ sea un número real, no teniendo sentido expresiones como: $x^{\frac{1}{2}}\;\;\mbox{o}\;\;x^{\frac{3}{4}}$

 

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{2}{x^{4}}}=0}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{5+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{... ...rrow{-\infty}}{\left(\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\right)}=0}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{-2}{x^{5}}}=0}$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{4}{\sqrt{-x}}}=0}$

Note que si $x\rightarrow -\infty$ entonces $-x\rightarrow +\infty$ por lo que $\sqrt{-x}$ sí tiene sentido cuando $x\rightarrow -\infty$.

Daremos ahora ejemplos de límites cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$. Para calcular $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}}$ factorizamos la variable de mayor exponente como se evidencia a continuación.

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{(3x^{3}-x^{2}+1)}}$

    $\displaystyle {=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x^{3}\left(3-\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}\right)}}$

    $\displaystyle {=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x^{3}\left(3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)}=+\infty}$

    Note que $\displaystyle {\frac{1}{x}\rightarrow 0,\;\;\frac{1}{x^{3}}\rightarrow 0\;\;\mbox{y}\;\;x^{3}\rightarrow +\infty}$ cuando $x\rightarrow +\infty$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{3x+1}{2x-3}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x(3+\frac{1}{x})}{x(2-\frac{3}{x})}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{3}{x}}}=\frac{3}{2}}$

    pues $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{x}}=0\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{-3}{x}}=0}$

     

  3.  $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{5x^{3}-x^{2}+1}{4x^{3}-2x+1}}}$  ejercicio para el estudiante
  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{2x^{2}-x+1}{3x+5}}}$

    $\displaystyle {=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x^{2}(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})}{x(3+\frac{5}{x})}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})}{(3+\frac{5}{x})}}=+\infty}$

    Recuerde que $\displaystyle {\frac{1}{x}\rightarrow 0,\;\;\mbox{y}\;\;\frac{1}{x^{2}}\rightarrow 0}$ cuando $x\rightarrow +\infty$

  5. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{5x^{2}+6x-1}{x^{3}-x^{2}+3x}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{x^{2}(5+\frac{6}{x}-\frac{1}{x^{2}})}{x^{3}(1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}})}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{5+\frac{6}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{x(1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{3}})}}}$

    Observe que evaluando, el numerador tiende a una constante (5), y el denominador tiende a $+\infty$.

    $= 0$ (por teorema 19)

     

  6. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{[\sqrt{x^{2}+5x+1}-2x]}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left[\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}-2x\right]}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left[\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2x\right]}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left[\vert x\vert\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2x\right] }}$

    Como $x$ está definida a través de valores positivos entonces $\vert x\vert=x$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left[x\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2x\right] }}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x\left[\sqrt{1+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-2\right]}=-\infty}$

    Observe que $x\rightarrow +\infty$ y que la expresión dentro del paréntesis tiende a $-2$.

     

  7. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\sqrt[4]{3x^{4}+2x^{2}+1}-1}{2x-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\sqrt[4]{x^{4}(3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}})}-1}{2x-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\vert x\vert\sqrt[4]{3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}-1}{2x-1}}}$

    Como $x$ crece a través de valores negativos se tiene que $\vert x\vert=-x$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{-x\sqrt[4]{3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}-1}{2x-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{x\left(-\sqrt[4]{3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}-\frac{1}{x}\right)}{x(2-\frac{1}{x})}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{-\sqrt[4]{3+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}-\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt[4]{3}}{2}}}$

    Nota: Recuerde $\sqrt[n]{x^{n}}=\vert x\vert$ si $n$ es par.

     

  8. Ejercicio  $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\sqrt[3]{5x^{3}+x^{2}-1}+2x}{3x^{2}+1}}}$
  9. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}-x}{\sqrt{x+2}-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{\sqrt[3]{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}-x}{\sqrt{x(1+\frac{2}{x})}-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{2}}}-x}{x^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}... ...{2}}}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqr... ...1+\frac{1}{x^{2}}}-1\right)}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}}=-\infty}$

    Note que $\sqrt{x}\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow +\infty$

     

  10. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{[\sqrt{2x^{2}+x+4}-\sqrt{2x^{2}+3x-2}]}}$

    Observe que:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\sqrt{2x^{2}+x+4}}=\lim_{x \righta... ...}=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}}=+\infty}$

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\sqrt{2x^{2}+3x-2}}=\lim_{x \right... ...=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{x\sqrt{2+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}=+\infty }$

    Luego se presenta la forma $+\infty-(+\infty)$ para la que no tenemos ningún teorema que nos permita dar el resultado.

    Cuando se presenta esta situación, primero racionalizamos y luego evaluamos el límite con el proceso que ya conocemos:

    Así tenemos que:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left(\sqrt{2x^{2}+x+4}-\sqrt{2x^{2}+3x-2}\right)}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\left[\sqrt{2x^{2}+x+4}-\sqrt{2x^... ...ac{\sqrt{2x^{2}+x+4}+\sqrt{2x^{2}+3x-2}}{\sqrt{2x^{2}+x+4}+\sqrt{2x^{2}+3x-2}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{{2x^{2}+x+4}-(2x^{2}+3x-2)}{\sqrt{2x^{2}+x+4}+\sqrt{2x^{2}+3x-2}}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{6-2x}{x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}+x\sqrt{2+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{x(\frac{6}{x}-2)}{x\left[\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}+\sqrt{2+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}}\right]}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{\frac{6}{x}-2}{\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}+\sqrt{2+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}}}$

    $=\displaystyle {\frac{0-2}{\sqrt{2+0+0}+\sqrt{2+0+0}}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}}$

     

  11. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{(\sqrt{x^{2}-x}-\sqrt[3]{x^{3}+1})}}$

    Observe que:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\sqrt{x^{2}-x}}=\lim_{x \rightarro... ...{1-\frac{1}{x}}}=\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}}}=+\infty}$ y

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\sqrt[3]{x^{3}+1}}=\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{x\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^{2}}}}=-\infty}$

    Por lo que en este caso se presenta la forma $+\infty-(-\infty)$, o sea, $+\infty\;+\infty$ para la que sí existe un teorema y concluimos que:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{(\sqrt{x^{2}-x}-\sqrt[3]{x^{3}+1})}=+\infty}$

Ejercicio

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{5-9x}}{\sqrt{-4x-5}-1}}}$ (respuesta: 2)

 

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