Lic. Elsie Hernández S.

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Definición de límites laterales o unilaterales

 

	Definición de límite por la derecha
	Se dice que $${\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $0<x-a<\delta$ entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de $f(x)$ en "a".

 

 

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de $x-a$, pues $x-a$ es mayor que cero ya que $x>a$.

	Definición de límite por la izquierda
	Se dice que $${\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $0<a-x<\delta$ entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ en "a".

 

Note que la expresión $a-x$ es mayor que cero, pues $x\rightarrow a^{-}$ por lo que $x<a$.

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función $f$ definida por:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x+2 & \mbox{si} & x\geq 1 \\ -x^{2}-1 & \mbox{si} & x<1 \end{array}\right.$

Primero hagamos la gráfica de la función:

 

El punto de discontinuidad se presenta cuando $x=1$

Luego: $${\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{f(x)}=3}$$ y $${\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{f(x)}=-2}$$

Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejercicio:

Represente la función $h$ definida por $h(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & \mbox{si} & x<0 \\ x+1 & \mbox{si} & x>0 \end{array}\right.$

y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista $${\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$$ es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, $${\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$$ si y solo si $${\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$$ y $${\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=L}$$

Por consiguiente, si $${\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}}$$ es diferente de $${\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}}$$ se dice que $${\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$$ no existe.

Ejemplo:

Representemos gráficamente la función definida por:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\ x & \mbox{si} & 2<x<4 \\ 4-x & \mbox{si} & x\geq 4 \end{array}\right.$

 

Como $${\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$$ y $${\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$$, entonces $${\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$$

Como $${\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$$ y $${\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$$, entonces $${\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$$ no existe.

Ejercicio:

Considere la representación gráfica de la función $g$ definida por:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \sqrt{-x-1} & \mbox{si} & x\leq -2 \\ x+3 & ... ...& \mbox{si} & 1\leq x\leq 3 \\ (x-4)^{2} & \mbox{si} & x>3 \end{array}\right.$

Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

a.$${\lim_{x \rightarrow{-2}}{g(x)}}$$

b.$${\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}}$$

c.$${\lim_{x \rightarrow{3}}{g(x)}}$$

d.$${\lim_{x \rightarrow{4}}{g(x)}}$$

e.$${\lim_{x \rightarrow{0}}{g(x)}}$$

 

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