Cálculo de Límites

Ahora calcularemos límites usando las propiedades listadas en la sección anterior.

Ejemplo 5 (sustitución directa)

Calcule el límite $\lim_{x\to 1}\left(2x^3+3\right)$

Solución

Evaluando directamente se tiene:

$\lim_{x\to 1}\left(2x^3+3\right) = 2(1)^3+3 = 5$

Ejemplo 6 (forma indeterminada $\frac{0}{0}$ )

Calcule el límite $\lim_{x\to 2}\{x^2-4}{x-2}$

Solución

La sustitución directa nos conduce a una expresión indefinida $\frac{0}{0}$ , que llamaremos forma indeterminada . Cuando encontremos esta forma debemos modificar la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga límite cero.

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 2+2 = 4$

Ejemplo 7

Calcule el límite $\lim_{x\to 4}\frac{x^2-9x+20}{x^2-3x-4}$

Solución

La sustitución directa nos conduce a la forma indeterminada así que vamos a factorizar por completo numerador y denominador para así simplificar.

$\lim_{x\to 4}\frac{x^2-9x+20}{x^2-3x-4} = \lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x-5)}{(x-4)(x+1)} = \lim_{x\to 4} \frac{x-5}{x+1} = \frac{4-5}{4+1} = -\frac{1}{5}$

Ejemplo 8

Calcule el límite $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}$

Solución 1

Al evaluar topamos de nuevo con la forma indeterminada , en este caso para modificar nuestra expresión vamos a racionalizar tanto numerador como denominador, puesto que ambos tienen límite cero.

Solución desarrollada ejemplo de cálculo de límites

Este ejercicio también puede resolverse utilizando un cambio de variable.

Solución 2

Vamos a tomar ventaja que los subradicales corresponden con la misma expresión y buscaremos el m.c.m. de los índices de los radicales (2 y 3).

Definimos $u=\sqrt[6]{1+x}$ . Al hacer esto note que la tendencia del límite también debe cambiar, pues la nueva variable es . Así que teníamos $x\to 0$ , con nuestra definición de tenemos $u\to 1$ . Ahora $u=\sqrt[6]{1+x} \Rightarrow u^6=1+x$ , lo cual usaremos en la modificación de nuestra expresión. Note que con este cambio vamos a prescindir de los radicales, pero el límite seguirá presentando una forma indeterminada.

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+3)=4, \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

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