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Límites Infinitos

Ejemplo 11

Calcule el límite \lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x^2-9}


Solución

Al evaluar tenemos un valor constante positivo (6) en  el numerador y un valor cero en el denominador, por lo cual vamos a analizar los signos de la expresión en los  límites laterales.

\lim_{x\to 3^-}\frac{\overbrace{x+3}^+}{\underbrace{x^2-9}_-}=-\infty          y          \lim_{x\to 3^+}\frac{\overbrace{x+3}^+}{\underbrace{x^2-9}_+}=+\infty


Note que los límites laterales no existen, por tanto el límite \lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x^2-9} no existe. 


Ejemplo 12

Calcule el límite \lim_{x\to -7^-}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-49}}


Solución

Note que la expresión \left(x^2-49\right) es positiva (estrictamente) para x\in ]-\infty,-7[\,\,\cup \,\,]7,+\infty, por lo cual no tendría sentido aproximarse a -7 por la derecha o a 7 por la izquierda. Al evaluar x=-7, tenemos un valor constante en el numerador y cero en el denominador por lo cual procedemos como en el ejemplo 11.

\lim_{x\to -7^-}\frac{\overbrace{x^2+1}^+}{\underbrace{\sqrt{x^2-49}}_+}=+\infty, el límite no existe.

Propiedades

Propiedades de los límites infinitos

De manera similar se definen para \lim_{x\to a}f(x)=-\infty.



Ejemplo 13

Calcule el siguiente límite \lim_{x\to 0^-}\left(1+\frac{1}{x}\right)


Solución

Aquí tenemos que \lim_{x\to 0^-}1 = 1 y \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty, aplicando las propiedades anteriores podemos concluir \lim_{x\to 0^-}\left(1+\frac{1}{x}\right)=-\infty, lo cual significa que el límite no existe.