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Ejercicios - Parte VI

Continuidad

III. Brinde la gráfica de una función definida en IR que tenga  todas y cada una de las siguientes características:

  • \lim_{x\to 1}f(x)=4  y  f(1)=3


  • \lim_{x\to -2}f(x)  no existe


  • \lim_{x\to 5^-}f(x)=-1  y  \lim_{x\to 5^+}f(x)=-\infty


  • ftiene una discontinuidad evitable en x=0.


  • ftiene una discontinuidad inevitable en x=-6.



IV. Encuentre  las constantes que hagan continua a la función dada.

  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} ax+b & \mbox{si} & x< 0 \\\\\\\\ b^2 & \mbox{si} & x=0\\\\\\\\\\ 2x-a & \mbox{si} & x>0 \end{array} \right. $

    Respuesta: $a=-1$  y  $b=1$


  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+2c & \mbox{si} & x< -2 \\\\\\\\ 3cx+k & \mbox{si} & -2\leq x\leq 1\\\\\\\\ 3x-2k & \mbox{si} & 1<x \end{array} \right. $

    Respuesta: $c=-1$  y  $k=2$


  • f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 2 & \mbox{si} & x< -1 \\\\\\ ax+b & \mbox{si} & -1< x< 3 \\\\\\ 3x-2k & \mbox{si} & x\geq 3 \end{array} \right.

    Respuesta: $a=-1$  y  $b=1$


  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2+4 & \mbox{si} & x< 1 \\\\\\ mx+n & \mbox{si} & 1\leq x< 4\\\\\\ -4x^2-5 & \mbox{si} & x\geq 4 \end{array} \right. $

    Respuesta: $m=\frac{-70}{3}$  y  $n=\frac{85}{3}$


  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x & \mbox{si} & x\leq 1 \\\\\\ cx+2k & \mbox{si} & 1<x<4\\\\\\ -2x & \mbox{si} & 4\leq x \end{array} \right. $

    Respuesta: $c=-3$  y  $k=2$


  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+1 & \mbox{si} & 1<x<3 \\\\\\ x^2+bx+x & \mbox{si} & |x-2|\geq 1\\\\\\ \end{array} \right. $

    Respuesta: No existen valores para las constantes que hagan que la función sea continua.


  • $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \ds\frac{x^2-a^2}{x-a} & \mbox{si} & x\neq a \\\\\\ 8 & \mbox{si} & x=a\\\\\\ \end{array} \right. $

    Respuesta: $a=4$



V. Si $f(x)=\frac{x-2}{x+5}$, determine los valores de $k$ tales que el límite $\lim_{x\to k}f(x)>0$

Respuesta: $k\in ]-\infty,-5[\,\cup\,]2,+\infty[$



VI. Encuentre la constante $c$ de modo que el límite \lim_{x\to 3}\frac{x^2+x+c}{x^2-5x+6} exista


Respuesta: $c=12$



VII. Si   $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{2-x} & \mbox{si} & x<2 \\\\\\ x^3+k(x+1) & \mbox{si} & x\leq 2\\\\\\ \end{array} \right. $ 

determine el valor de la constante $k$ para que el límite $\lim_{x\to 2}f(x)$ exista


Respuesta: k=-\frac{8}{3}