Continuidad

Ejemplo 16

Considere la función $f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ , determine sus puntos de discontinuidad y clasifíquelos según corresponda.

Solución

Para este tipo de función tenemos que su dominio máximo se obtiene quitando de los números reales aquellos valores que anulan el denominador. Así $D_f=\R-\{-1,1\}$ . Se analizará la continuidad precisamente en y en .

En :

no está definida.
$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}= \lim_{x\to 1}\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x+1}=2$

Podemos entonces definir la función

$g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{x^2+2x-3}{x^2-1} & \mbox{si} & x \notin \{-1,1\} \\ 2 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right.$

Que coincide con excepto cuando $x\in \{-1,1\}$ y además es continua en , pues

$\lim_{x\to 1}g(x)=2=g(1)$

Así que en la función tiene una discontinuidad inevitable.

En :

no está definida.
$\lim_{x\to -1}\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ no existe pues los límites laterales no existen, al calcularlos se tiene que:

$\lim_{x\to -1^-}\frac{\overbrace{x^2+2x-3}^-}{\underbrace{x^2-1}_+}=-\infty$ y $\lim_{x\to -1^+}\frac{\overbrace{x^2+2x-3}^-}{\underbrace{x^2-1}_-}=+\infty$

En este caso concluimos que en la función presenta una discontinuidad inevitable infinita.

Ejemplo 17

Determine los puntos de discontinuidad de , donde representa la función parte entera.

Solución

Recordemos que donde es el mayor entero menor que, o igual a . Su gráfica corresponde con el de una función escalonada.

Gráfica ejemplo de Continuidad

Fig 6. Gráfica ejemplo de Continuidad.

La función parte entera es una función que presenta discontinuidades inevitables finitas en todos los números enteros. Veamos el caso con .

$\lim_{x\to 2} [x]$ no existe pues a pesar que los límites laterales existen ellos no coinciden.

Note que $\lim_{x\to 2^-}[x]=1$ y $\lim_{x\to 2^+}[x]=2$

Así que en la función presenta una discontinuidad inevitable finita.

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