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Límites al infinito

Aquí nos interesa conocer el comportamiento de una función cuando x crece (o decrece) sin cota. Por ejemplo para la función f(x)=\frac{-2x^3-1}{2x^3-9x^2+1}. Veamos la siguiente tabla:

Tabla que muestra Límites Infinitos

Podemos incluso referirnos a la gráfica de f.

Gráfica que muestra ejemplos de límites al infinito

Fig 5. Gráfica de ejemplo de límites al infinito.

Denotamos estos límites por: \lim_{x\to -\infty}f(x)=-1 y lim_{x\to +\infty}f(x)=-1

Debemos señalar que ambos resultados no necesariamente coinciden, eso depende de la función con la cual se trabaje.

Definición

Definición de límites al infinito

Propiedades

Sea c un número real, n un entero positivo, y además f, g dos funciones que tienen límite cuando x\to +\infty.  Entonces son ciertas las siguientes propiedades:

  • \lim_{x\to +\infty}c = c

  • \lim_{x\to +\infty}\left(cf(x)\right)=c\left(\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)

  • \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)\pm g(x)\right)=\left(\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)\pm \left(\lim_{x\to +\infty}g(x)\right)

  • \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\left(\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)\cdot \left(\lim_{x\to +\infty}g(x)\right)

  • \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to +\infty}f(x)}{\lim_{x\to +\infty}g(x)},   si   \lim_{x\to +\infty}g(x)\neq 0.

  • \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)\right)^n = \left(\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)^n

  • \lim_{x\to +\infty}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to +\infty}f(x)}, para n par debe cumplirse \lim_{x\to +\infty}f(x)\geq 0.


De manera similar se definen para cuando  x\to -\infty.