Límites y Continuidad

Ejemplo 3

Consideremos ahora la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+3 & \mbox{si} & x < 1 \\\frac{x^2-1}{x-1} & \mbox{si} & x>1\\ \end{array} \right.$

Queremos igual que antes analizar su comportamiento cuando se aproxima a .

Su dominio máximo corresponde con $\mathbb{R}-\{1\}$ , esto significa que la función está definida para todos los valores reales distintos de . Si construimos una tabla de valores como antes, asignando a valores pequeños pero cercanos a , vemos que:

La tabla anterior no establece un comportamiento tan claro como en los dos ejemplos anteriores. Aquí la función cuando se acerca al valor , tomando valores más pequeños que , se acerca a , mientras que cuando se acerca, tomando valores ligeramente mayores a , la función se acerca a . En este caso diremos que el límite de cuando tiende a no existe.

Definición (intuitiva de límite)

En forma general e intuitiva, diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a un valor de a es L, si para acercar el valor de f(x) a L tanto como se quiera, basta con acercar adecuadamente x al valor de a

Con esto de los primeros dos ejemplos podemos escribir:

En el ejemplo 1:

$\lim_{x\to 1}f(x)=4$ ó $\lim_{x\to 1}(x+3)=4$

En el ejemplo 2:

$\lim_{x\to 1}f(x)=2$ ó $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

Definición formal

La definición formal de límite permite demostrar que si un límite existe entonces es único; sin embargo, no nos suministra procedimientos para su cálculo.

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