Lic. Elsie Hernández S.

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Diferenciales

Sea $f$ una función definida por $y = f(x)$, derivable sobre un intervalo $S$

Sea $\bigtriangleup x$ diferente de cero tal que $\bigtriangleup x+x$ pertenece al dominio de $f$ y el punto $(x+\bigtriangleup x, f(x+\bigtriangleup x))$ esté en la gráfica de $f$ como se muestra en la siguiente figura:

Sabemos de la definición de derivada que:

$f'(x)= \displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\frac{f(x+ \bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}}}$ si el límite existe

luego:

$\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\left(\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}-f'(x)\right)}}$

$=\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{\left(\frac{\bigtriangleu... ...t)}}-\displaystyle{\lim_{\bigtriangleup x \rightarrow{0}}{f'(x)}}=f'(x)-f'(x)=0$

de donde para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $\displaystyle{\vert\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}- f'(x)\vert< \varepsilon}$ siempre que $0<\vert\bigtriangleup x\vert<\delta$ o sea, $\vert\bigtriangleup y-f'(x)\cdot \bigtriangleup x\vert<\varepsilon \bigtriangleup x $ siempre que $0<\vert\bigtriangleup x\vert<\delta$.

Lo anterior significa que puede hacerse tan pequeño como se quiera, tomando $\vert\bigtriangleup x\vert$ suficientemente pequeño.

Luego, $f'(x)\bigtriangleup x$ es tan buena aproximación para el incremento $\vert\bigtriangleup y\vert$ como se desee, tomando $\vert\bigtriangleup x\vert$ suficientemente pequeño.

  Definición 
  Si $f$ es una función tal que $f'(x)$ existe sobre un intervalo $S$ y si $\bigtriangleup x$ es cualquier número distinto de cero, la diferencia de $f$ con respecto a $x$ es igual $f'(x)$ multiplicada por $\bigtriangleup x$. Esta diferencial se denota por $d_{x}f(x)$ de tal forma que $d_{x}f(x)=f'(x)\bigtriangleup x$.

Ejemplos:

Si $f(x)= 4x^{2}+1$ entonces $d_{x}f(x)=8x \bigtriangleup x$.

Consideremos ahora una función compuesta $h=f(g)$ donde $y = f(x)$ $x=g(t)$ siendo $t$ la variable independiente final y "x" la variable intermedia. Luego $y=h(t)$.

Aplicando la definición anterior tanto a "y" como a "x" se obtiene: $d_{t}y=h'(t)\bigtriangleup t, \; d_{t}x=g'(t)\bigtriangleup t$.

Utilizando la regla de la cadena para derivar $h$ respecto a $t$ se obtiene que $h'(t)=f'(x)g'(t)$.

Luego $d_{t}y=h'(t)\bigtriangleup t=f'(x)g'(t)\bigtriangleup t=f'(x)d_{t}x$, fórmula que se escribe usualmente $dy=f'(x)dx$, y que se lee como la diferencial como la diferencial de "y" es igual a la derivada de "y" con respecto a "x", multiplicada por la diferencial de "x" donde $dy$, $dx$ son diferenciales con respecto a la misma variable.

 

  Definición

Si una función $f$ está definida por $y = f(x)$ entonces la diferencial de $x$ se denota $dx$, está dada por $dx=\bigtriangleup x$ donde $x$ es la variable independiente final, y además, la diferencial "y" es siempre: $dy=f'(x)dx$.
En la figura anterior es fácil observar que $dy$ es una mejor aproximación de $\bigtriangleup y$ conforme $\bigtriangleup x$ se hace cada vez más pequeña.

Ejemplos:

  1. Determinar $\bigtriangleup y$, $dy$, $\bigtriangleup y - dy$ para $y=x^{2}-3x, \; x=2;\; \bigtriangleup x=0.03$
    Solución:

    Consideremos $f(x)=y=x^{2}-3x$
    Calculemos primero el incremento:

    $\bigtriangleup y= f(x+\bigtriangleup x)-f(x)=(x+\bigtriangleup x)^{2}-3(x+\bigtriangleup x)-(x^{2}-3x)$

    $\bigtriangleup y=x^{2}+2x\bigtriangleup x+(\bigtriangleup x)^{2}-3x-3\bigtriangleup x-x^{2}+3x$

    $\bigtriangleup y=2x\bigtriangleup x+(\bigtriangleup x)^{2}-3\bigtriangleup x$

    $\bigtriangleup y=(2x+\bigtriangleup x-3)\bigtriangleup x$

    Para $x=2, \; \bigtriangleup x=0.03; \;\; \bigtriangleup y= (4+0.03-3)(0.03)$ de donde $\bigtriangleup y=0.0309$

    Ahora calculemos la diferencial $dy$

    $dy=f'(x)dx=(2x-3)dx$

    Luego para $x=2, \; \bigtriangleup x=0.03$ se tiene que $dy=(2\cdot 2-3)(0.03)=0.03$

    Por último $\bigtriangleup y - dy=0.0309-0.03=0.009$ .


  2. Utilizando diferenciales calcular aproximadamente el valor de $\sqrt[3]{122}$.

    Solución:

    Tomemos $f(x)= y=\sqrt[3]{x}, \; x= 125, \; dx=\bigtriangleup x=-3$.

    Nos interesa determinar una aproximación a $y+ \bigtriangleup y$ para $x= 125$ y $dx=-3$.

    Para ello calculamos el diferencial de "y".

    $\displaystyle{dy=f'(x)dx=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}dx}$; sustituyendo "x" por 125 y $dx$ por -3 se obtiene que:

    $\displaystyle{dy=\frac{-3}{3\sqrt[3]{(125)^{2}}}=\frac{-1}{\sqrt[3]{(125)^{2}}}=\frac{-1}{\sqrt[3]{5^{6}}}=\frac{-1}{5^{2}}=\frac{-1}{25}=-0.04}$

    Luego $dy=-0.04, \; y=5=\sqrt[3]{125}$

    Así aproximamos $y+ \bigtriangleup y$ para $x= 125$, $dx=\bigtriangleup x= -3$ con $y+dy = 5-0.04=4.96$

    Luego $\sqrt[3]{122}=4.96$ .


  3. El lado de un cuadrado es igual a $5\;cm$. Hallar el incremento aproximado de su área si el lado aumenta $0.01\;cm$.

    Solución:

    Sea $A(x)=y=x^{2}$ donde $x$ es el lado del cuadrado, A denota su área.

    Se desea determinar cuánto aumenta el área cuando la longitud del lado pasa de $5\;cm$ a $5.01\;cm$.

    Calculemos la diferencial de área:
    Así:
    $dA=f'(x)dx=2xdx$, donde $x=5$ y $dx=0.01$
    Luego:
    $dA=10(0.01)=0.1$ y aproximamos $A+\bigtriangleup A$ para $x=5, \; dx=0.01$ con $A+ dA=25+0.10$ de donde $A+ dA=25.10$, área del nuevo cuadrado.

    El incremento del área es de $0.1\;cm^{2}$.


  4. Al calentar una esfera de radio $R=9\;cm$, su volumen aumentó $32.4\pi\;cm^{3}$. Hallar el alargamiento del radio de la esfera.
    Solución:

    Sea $\displaystyle{f(R)=y=\frac{4}{3}\pi R^{3}}$ la ecuación para el volumen de la esfera.

    En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que está dada por $dV=32.4\pi\;cm^{3}$. Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es decir $dx=\bigtriangleup x(dR=\bigtriangleup R)$

    Como $dV=f'(x)dR=4\pi R^{2}dR; \;dV=32.4\pi ;cm^{3}$ y $R=9\;cm$ entonces:

    $32.4 \pi \;cm^{3}=4 \pi (9\;cm)^{2}dR$ y por tanto $dR=0.1 \;cm$.

    El radio de la esfera se alargó $0.1\;cm$.

Ejercicio:

Resuelva los problemas siguientes:

  1. Hallar el valor aproximado de $(99)^{-1}$

  2. Sea $u=f(x)$ y $v=g(x)$, donde $f$ y $g$ son funciones derivables sobre un dominio común. Exprese la diferencial del producto $uv$ en términos de las diferenciales de $u$ y $v$.

  3. Un paralelepípedo rectangular de $10\;cm$ de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a $20\;cm$.
    ¿Cuánto aumentará el volumen del paralelepípedo si el lado de la base se alarga $0.02\;cm$?

  4. De cada cara de un bloque cúbico de madera se saca una capa de $0.3\;cm$ de espesor. Si el bloque tenía originalmente $7\;cm$ de arista, aproximadamente ¿cuánto va a decrecer el volumen a causa del proceso?

Nota: A partir de la notación diferencial se tiene que $dy=f'(x)dx$ por lo que se puede dividir por $dx$ obteniéndose por tanto que $\displaystyle{f'(x)=\frac{dy}{dx}}$.

El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de $f$ se debe a Leibniz y se utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior.

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