Derivada de una función

Derivada de la función exponencial

La función exponencial de base "a", con $a>0 \;\;\mbox{y}\;\; a\neq 1$ , tiene como dominio $I\!\!R\;\;\mbox{y como \'ambito}\;\; ]0,+\infty[$ .
En el teorema siguiente se dará la derivada de la función exponencial.

Teorema

$D_{x}a^{x}= a^{x} ln a$

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}2^{x}= 2^{x} ln 2}$

$\displaystyle{D_{x}4^{x}= 4^{x} ln 4}$

$\displaystyle{D_{x}\frac{1}{2}^{x}= \frac{1}{2}^{x} ln \frac{1}{2}=\frac{-ln 2}{2^{x}}}$

$\displaystyle{D_{x}\frac{3}{4}^{x}= \frac{3}{4}^{x} ln \frac{3}{4}}$

Observe que si la base de la función exponencial es

, entonces $D_{x}e^{x}=e^{x}ln e= e^{x}\cdot 1$ de donde $D_{x}e^{x}=e^{x}$

Teorema

Si $a>0,\;\;\mbox{con}\;\;a\neq 1, \;\;\mbox{y si}\;\; g = \{(x,y)/\;y=g(x)\}$ es derivable sobre entonces la función compuesta $f(x)=a^{g(x)}$ es derivable sobre y $D_{x}a^{g(x)}=a^{g(x)} ln a \;\;D_{x}g(x), \;\;\mbox{para}\;\; x\in M$ .

Prueba: Se deja como ejercicio al estudiante.

Igual que el caso anterior, si la base de la función exponencial es

, entonces $D_{x}e^{g(x)}=e^{g(x)} ln e\;\;D_{x}g(x)$ de donde $D_{x}e^{g(x)}=e^{g(x)} \;D_{x}g(x)$ .

Ejemplos:

$D_{x}2^{5x}=D_{x}2^{5x}\cdot D_{x}5x= 2^{5x}(ln 2)5=5(2^{5x}ln2)$

$\displaystyle {D_{x}3^{(x^ 2 + 1) }= D_{x}3^{(x^ 2 + 1)}D_{x}(x^{2}+1) = 3^{(x^ 2 + x) }(ln3)(2x+1)}$

$\displaystyle{D_{x}4^{\sqrt{x}}=4^{\sqrt{x}}ln 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4^{x} ln 4}{2\sqrt{x}}}$

$D_{x}e^{2x}= e^{2x}D_{x}(2x)=2e^{2x}$

$D_{x}e^{5x+1}=5e^{5x+1}$

Ejercicios:

Determine la derivada de cada una de la funciones siguientes:

1.: $f(x)=x^{2}\pi ^{-4x}$
2.: $g(x)=3 \;e^{x^{2}}$
3.: $\displaystyle{h(t)=\frac{t^{3}}{e^{2t}+t}}$
4.: $\displaystyle{h(x)=ln \left(\frac{2-5\;e^{x}}{2+5\;e^{3x}} \right)}$
5.: $f(x)=(x^{2}+e^{-x^{3}})ln(1+2^{-x})$

1.: Determine la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación $y=3\;e^{-2x}$ tal que sea paralela a la recta con ecuación .
2.: Determinar la ecuación de la recta tangente trazada a la curva con ecuación $y=e^{\frac{1}{2}x}$ en el punto de su intersección con el eje Y.
3.: La dependencia entre la cantidad de sustancia obtenida en cierta reacción química y el tiempo de reacción se expresa por la ecuación $x=A(1-e^{-kt})$ . Determinar la velocidad de reacción.