Lic. Elsie Hernández S.

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Funciones implícitas y su derivada

Al considerar la función con ecuación $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+1$, es posible determinar $f'(x)$ con los teoremas enunciados anteriormente, ya que $f$ es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente $x$.

Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

$3x^{2}y^{2}-5xy^{3}+x=5,\;\;\;x^{2}-x=5xy^{2}-y^{4}$

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en términos de "x". Se dice que la función $f$ está definida implícitamente por las ecuaciones:

$3x^{2}[f(x)]^{2}-5x[f(x)]^{3}+x=5$

$x^{2}-x=5x[f(x)]^{2}-[f(x)]^{4}$ respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general $f(x,y)=0$.

Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:


a. $3x^{2}[f(x)]^{2}-5x[f(x)]^{3}+x=5$

Observe que $3x^{2}[f(x)]^{2}$ involucra un producto de funciones y que para derivar $[f(x)]^{2}$ se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

$3x^{2}\cdot 2 [f(x)]\cdot D_{x}f(x)+6x\;[f(x)]^{2}-\left[5x\cdot 3[f(x)]^{2}\cdot D_{x}f(x)+5[f(x)]^{3}\right]+1=0$

$6x^{2}f(x)\cdot D_{x}f(x)+6x[f(x)]^{2}-15x[f(x)]^{2}\cdot D_{x}f(x)-5[f(x)]^{3}+1=0$

Despejando $D_{x}f(x)$ se tiene que:

$D_{x}f(x)=\displaystyle{\frac{5[f(x)]^{3}-6x[f(x)]^{2}-1}{6x^{2}f(x)-15x[f(x)]^{2}}}$

Sustituyendo "y" por $f(x)$ se obtiene:

$D_{x}y=\displaystyle{\frac{5y^{3}-6xy^{2}-1}{6x^{2}y-15xy^{2}}}$

 
b. $x^{2}-x=5x[f(x)]^{2}-[f(x)]^{4}$ derivando

$2x-1=5x\cdot 2f(x)\cdot D_{x}f(x)+5[f(x)]^{2}-4[f(x)]^{3}\cdot D{x}f(x)$

$2x-1=10xf(x)\cdot D_{x}f(x)+5[f(x)]^{2}-4[f(x)]^{3}\cdot D_{x}f(x)$

$2x-1-5[f(x)]^{2}=(10x\;f(x)-4[f(x)]^{3})\cdot D_{x}f(x)$

de donde $\displaystyle{f'(x)=\frac{2x-1-5[f(x)]^{2}}{10x\;f(x)-4[f(x)]^{3}}}$

y sustituyendo $y = f(x)$ se tiene:

$D_{x}y=y'=\displaystyle{\frac{2x-1-5y^{2}}{10xy-4y^{3}}}$

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Por ejemplo, la ecuación $x^{2}+y^{2}+9=0$ no puede ser satisfecha por ningún valor real de "x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que $2x+2y\cdot D_{x}y+0=0$ de donde $\displaystyle{D_{x}y=\frac{-x}{y}}$, fórmula que parece tener significado para "x" y "y" siempre que $y\neq 0$, aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuación dada no especifica ninguna función $f$.

La derivación implícita determina una fórmula para $D_{x}f(x)$, que es válida para toda función derivable $f$ tal que $f(x)$ esté definida implícitamente por una ecuación dada.

Ejemplos:

  1. Suponiendo que existe una función derivable $f$ tal que $f(x)$ está definida implícitamente por la ecuación $x^{3}+y^{3}-3x^{2}+3y^{2}=0$, calcular $D_{x}y$

    Solución:

    Derivando implícitamente se obtiene:

    $3x^{2}+3y^{2}\cdot D_{x}y -6x+6y\cdot D_{x}y=0$

    $(3y^{2}+6y)\cdot D_{x}y=6x-3x^{2}$

    $D_{x}y=\displaystyle{\frac{6x-3x^{2}}{3y^{2}+6y}=\frac{2x-x^{2}}{y^{2}+2y}}$

    Note que hemos trabajado como si $y = f(x)$.

  2. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto $P$. Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.


    a. $x^{2}+y^{2}-4x+6y-24=0,\;\;P(1,3)$
    b. $y^{2}=4ax;\;\;P(a,2a),\;\;a>0$
     

    Solución:

    a.
    Primero obtenemos $D_{x}y$ que nos da la pendiente de la recta tangente: $2x+2y \cdot D_{x}y-4+6 \cdot D_{x}y - 0=0$ de donde $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2-x}{y+3}}$

    Evaluando $D_{x}y\;\;\mbox{en}\;\;P(1,3)$ se tiene que $m_{t}=\displaystyle{\frac{1}{6}}$

    Luego $y=\displaystyle{\frac{1}{6}x+b}$. Sustituyendo $(1,3)$ se obtiene que $\displaystyle{b=\frac{17}{6}}$ por lo que la ecuación de la recta tangente es $\displaystyle{y=\frac{1}{6}x+\frac{17}{6}}$

    La pendiente de la recta normal es $m_{N}=-6$ de donde la ecuación de esta recta es: $y=-6x+b_{1}$; sustituyendo nuevamente en $(1,3)$ se obtiene que $b_{1}=9$

    La ecuación de la recta normal es: $y=-6x+9$

    La ecuación $x^{2}+y^{2}-4x+6y-24=0$ puede escribirse como $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=36$ que representa la ecuación de una circunferencia con centro en $(2,-3)$ y radio $6$.

    La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:

    b.
    Dada la ecuación $y^{2}=4ax$ obtenemos $D_{x}y$. como $2y\cdot D_{x}y =4a$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2a}{y}}$

    Evaluando en $P(a,2a)$ se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2a}{2a}}=1$

    Luego, la pendiente de la recta tangente es $m_{T}=1$ y la ecuación es $y=x+b$. Sustituyendo $(a,2a)$ en esta ecuación se obtiene que $b=a$ por lo que finalmente la ecuación de la recta tangente es $y=x+a$.

    La pendiente de la recta normal es $m_{N}=-1$ y la respectiva ecuación es: $y=-x+b$. Sustituyendo $(x,y)\;\;\mbox{por}\;\;(a,2a)$ se obtiene que $b=3a$ por lo que la ecuación de la recta normal es $y=-x+3a$.

    La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

Ejercicios para el estudiante:

  1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones $4y^{3}-x^{2}y-x+5y=0,\;\;x^{4}-4y^{3}+5x+y=0$ son perpendiculares entre sí.

  2. En cada caso:
    a.
    Determinar $D_{x}y$ en términos de "x" y "y" utilizando la derivación implícita.

    b.
    Despejar "y" en términos de "x" y demostrar que cada solución y su derivada satisfacen la ecuación obtenida en a.
     
    i $x^{2}-2xy=5$
    ii , a cte
    iii $2x^{2}-3xy-4y^{2}=5$
  3. Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación $x-y=\sqrt{x+y}$ en el punto $(3,1)$

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