Lic. Elsie Hernández S.

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  Teorema de Cauchy del valor medio  (o extensión del teorema del valor medio para derivadas)

 

 Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ dos funciones continuas sobre un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables sobre el intervalo abierto $]a,b[$.
Si $g(b)\neq g(a)\;\;\mbox{y}\;\;g'(x)\neq 0$ para $x \in ]a,b[$, entonces existe un número $c\in ]a,b[$ tal que $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}$.
Prueba: Al final del capítulo.

Interpretación geométrica


Considere la representación gráfica de una curva $y=h(x)$, que tiene ecuaciones paramétricas $x=g(t),\;\;y=f(t)$ donde $t\in [a,b]$.

Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor está dada por

$D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}f(t)}{D_{t}g(t)}=\frac{f'(t)}{g'(t)}}$

Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $P(g(a),f(a)),\;\;Q(g(b),f(b))$ está dada por:

$\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor $C$ en $]a,b[$ tal que: $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}$

En este caso, hay dos valores de $t$ que satisfacen la conclusión del teorema y son $t=c_{1},\;\;t=c_{2}$.

Ejemplos:

En cada caso, determinar los valores $c\in ]a,b[$ tales que satisfacen el teorema de Cauchy del valor medio.

  1. $f(x)=x^{3},\;\;g(x)=x^{2},\;\;]a,b[=]0,2[$

  2. $f(x)=\displaystyle{\frac{2x}{1+x^{2}},\;\;g(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}},\;\;]a,b[=]0,2[$

Solución:

  1. Las funciones $f$ y $g$ son continuas y derivables en el intervalo $]0,2[$ por ser funciones polinomiales.

    Además: $g(2)=4\;\;\mbox{y}\;\;g(0)=0$ por lo que $g(2)\neq g(0);\;\;g'(x)=2x$, y $2x$ es diferente de cero para $x \in ]0,2[$. Como se cumplen todas las condiciones existe $C$ en $]0,2[$ tal que:

    $\displaystyle{\frac{f(2)-f(0)}{g(2)-g(0)}=\frac{f'{c}}{g'(c)}}$

    Como $f(2)=8,\;\;f(0)=0,\;\;f'(x)=3x^{2},\;\;\mbox{y}\;\;g'(x)=2x$ entonces sustituyendo en la expresión anterior: $\displaystyle{\frac{8-0}{4-0}=\frac{3c^{2}}{2c}}$ de donde $2=\displaystyle{\frac{3}{2}c}$ y se obtiene que $\displaystyle{c=\frac{4}{3}}$

     

  2. Las funciones $f$ y $g$ son continuas y derivables en el intervalo $]0,2[$ pues ambas son el cociente de dos polinomios $P(x)\;\;\mbox{y}\;\;Q(x)$ donde $Q(x)=x^{2}+1$ es diferente de cero para $x$ en $]0,2[$.

    Además: $g(2)=\displaystyle{\frac{-3}{5}}\;\;\mbox{y}\;\;g(0)=1$ por lo que $g(2)\neq g(0);\;\;g'(x)=\displaystyle{\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}}$, es diferente de cero para $x \in ]0,2[$. Como se cumplen todas las condiciones del teorema de Cauchy del valor medio, existe $C$ en $]0,2[$ tal que:

    $\displaystyle{\frac{f(2)-f(0)}{g(2)-g(0)}=\frac{f'{c}}{g'(c)}}$

    Como $f(2)=\displaystyle{\frac{4}{5},\;\;f(0)=0,\;\;f'(x)=\frac{2-2x}{(1+x^{2})^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;g'(x)=\frac{-4x}{(1+x^{2})^{2}}}$ entonces sustituyendo en la igualdad anterior se tiene: $\displaystyle{\frac{-4}{3}=\frac{2-2c^{2}}{-4c}}$ y $10c^{2}=6$ por lo que $\vert c\vert=\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{5}}}$

    Como $c=-\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{5}}}$ no pertenece al intervalo $]0,2[$, el valor que satisface la conclusión del teorema es $c=\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{5}}}$, que sí pertenece al intervalo dado.

    El teorema de Cauchy del valor será utilizado en la demostración de algunos teoremas que se refieren a la regla de L'Hôpital y que serán estudiados en el próximo apartado.

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