Derivada de una función

La Regla de L'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

$\displaystyle{\frac{+\infty}{+\infty},\;\;\frac{-\infty}{-\infty},\;\;\frac{+\infty}{-\infty},\;\;\frac{-\infty}{+\infty}}$

Daremos a continuación, sin demostración, los teoremas que permiten evaluar tal tipo de límites.

Teorema

Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo abierto , excepto cuando $x=a,\;\;(a\in I)$ .

Si para $x\neq a$ se tiene que:

i	$g'(x)\neq 0$
ii	$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=\infty}$
iii	$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=\infty}$
iv	existe el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=k}$

entonces también existe $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ y además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=k}$

Calcular $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{ln(1-2x)}{tan\;\pi\;x}}}$

a.	$\displaystyle{x\rightarrow \frac{1^{-}}{2}\Rightarrow x<\frac{1}{2}\Rightarrow ... ...1-2x>0\Rightarrow 1-2x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow ln(1-2x)\rightarrow -\infty}$
b.	$\displaystyle{x\rightarrow \frac{1^{-}}{2}\Rightarrow \pi x\rightarrow \frac{\pi^{-}}{2}\Rightarrow tan(\pi x)\rightarrow +\infty}$

Luego, se presenta la forma $\displaystyle{\frac{-\infty}{+\infty}}$ por lo que puede aplicarse el teorema anterior como sigue:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{ln(1-2x)}{tan\;\pi\;x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{\frac{-2}{1-2x}}{\pi\;sec^{2}\pi\;x}}}$ (Recuerde que $sec^{2}\theta =\displaystyle{\frac{1}{cos^{2}\theta}}$ )

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{-2\;cos^{2}(\pi\;x)}{\pi\;(1-2x)}}}$ forma $\displaystyle{\frac{-2\;cos^{2}(\frac{\pi}{2})}{\pi(1-1)}=\frac{0}{0}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{4\;\pi(cos\;\pi\;x)(sen\;\pi\;x)}{-2\pi}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{-2\;(cos\;\pi\;x)(sen\;\pi\;x)}=0}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{\frac{1^{-}}{2}}}{\frac{ln(1-2x)}{tan\;\pi\;x}}=0}$

Teorema

Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones derivables para toda , donde es una constante positiva.

Además, para se cumple que $g'(x)\neq 0$ sí:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=+\infty}$

(o $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=-\infty}$ )

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{g(x)}=+\infty}$

(o $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{g(x)}=-\infty}$ )

iii

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L}$

Entonces el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ también existe y

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L}$

El teorema también es válido cuando se sustituye $x\rightarrow +\infty \;\;\mbox{por}\;\; x\rightarrow -\infty$

Además, si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\infty}$ entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty}$

$\displaystyle{\lim_{u \rightarrow{+\infty}}{\frac{u}{e^{bu}}}}$ forma: $\displaystyle{\frac{+\infty}{+\infty}}$ pues $e^{bu}\rightarrow +\infty$ cuando $u\rightarrow +\infty\;\;(b>0)$

$\displaystyle{=\lim_{u \rightarrow{+\infty}}{\frac{1}{be^{bu}}}=0}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{2x}-e^{-x}}}}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{e^{2x}+1}{e^{3x}-1}}}$ que presenta la forma $\displaystyle{\frac{+\infty}{+\infty}}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{2x}-e^{-x}}}=\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{\frac{e^{2x}+1}{e^{3x}-1}}}$

Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otras formas indeterminadas