Lic. Elsie Hernández S.

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Introducción

La regla de L'Hopital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era posible resolver. Así, al evaluar límites de la forma $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ en algunos casos se podía aplicar el teorema para el límite de un cociente:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}} {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}}}$ siempre que $\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}\neq 0$

Aún cuando $\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=0$ y $\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=0$, a veces es posible determinar $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$. Por ejemplo el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-x-2}}}$ que es de la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ puede escribirse como $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{(2x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)}}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{2x+1}{x-2}}=\frac{5}{2}}$

Sin embargo, existen límites como $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{ln\;(x-1)}{x-2}}}$ en los que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando $x$ tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimiento que permita determinar su valor.

El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.

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