Lic. Elsie Hernández S.

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Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita

Especificaremos en los ejemplos siguientes el procedimiento que se sigue para determinar $D_{x}^{2}y$.

Ejemplo A:


Sea la ecuación $x^{3}-xy+y^{3}=0$, obtenemos primero $D_{x}y$ en la forma siguiente:

$3x^{2}-(x\cdot D_{x}y+y)+3y^{2}\cdot D_{x}y=0$

de donde $D_{x}y=\displaystyle{\frac{y-3x^{2}}{3y^{2}-x}}$

ahora $D_{x}^{2}y=D_{x}(D_{x}y)=D_{x}\displaystyle{\left(\frac{y-3x^{2}}{3y^{2}-x}\right)}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(3y^{2}-x)(D_{x}y-6x)-(y-3x^{2})(6yD_{x}y-1)}{(3y^{2}-x)^{2}}}$

se sustituye $D_{x}y$, y se obtiene:

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(3y^{2}-x)\left(\frac{y-3x^{2}}{3y^{2}-x}-6x\right)-(y-3x^{2})\left(6y\cdot \frac{y-3x^{2}}{3y^{2}-x}-1 \right)} {(3y^{2}-x)^{2}}}$ 

Simplificando:

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{2xy\;(27xy-27(x^{3}+y^{3})-2)} {(3y^{2}-x)^{3}}}$ pero de la ecuación original $x^{3}+y^{3}=xy$ por lo que: $27xy-27xy-2=-2$, y $D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{-4xy}{(3y^{2}-x)^{3}}}$

Ejemplo B:

Determinar $D_{x}^{2}y\;\;\mbox{si}\;\;ax^{2}+2xy+by^{2}=1$

Primero calculamos $D_{x}y$

$2ax+2x\cdot D_{x}y+2y+2by\cdot D_{x}y=0$

$D_{x}y=\displaystyle{\frac{-2ax-2y}{2x+2by}=\frac{-ax-y}{x+by}}$

Luego:

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{D_{x}(D_{x}y)=D_{x}\left(\frac{-ax-y}{x+by}\right)}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(x+by)(-a-D_{x}y)-(-ax-y)(1+b\cdot D_{x}y)} {(x+by)^{2}}}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(abx-x)D_{x}y-aby+y}{(x+by)^{2}}}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(ab-1)(x\cdot D_{x}y-y)}{(x+by)^{2}}}$ sustituyendo $D_{x}y$ se tiene:

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{(ab-1)\left(x\cdot \frac{-ax-y}{x+by}-y\right)}{(x+by)^{2}}}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{-(ab-1)(ax^{2}+2xy+by^{2})} {(x+by)^{2}}}$

$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{-(ab-1)(1)}{(x+by)^{3}}=\frac{1-ab}{(x+by)^{3}}}$ pues $ax^{2}+2xy+by^{2}=1$ en la ecuación original.

Ejercicio:

Determine $D_{x}^{2}y$ y exprese el resultado en la forma más simplificada posible.

 

a. $x^{2}-2y^{2}=4$
b. $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$        a cte.
c. $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$        a cte, b cte.

 

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