Derivada de una función

Derivadas de las funciones inversas

Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema

Sea

una función estrictamente creciente y continua en un intervalo $[a,b]\;\;\mbox{y}\;\;g$ la función inversa de

.
Si

existe y es diferente de cero para $x \in ]a,b[$ , entonces la función derivada

también existe y no es nula en el correspondiente "y" donde

.
Además se tiene que $\displaystyle{g'(y)=\frac{1}{f'(x)}, \;\;\mbox{o sea}\;\;D_{y}g(y)=\frac{1}{D_{x}f(x)}}$ .
Note que si

entonces $x=g(y)\;\;\mbox{corresponde a}\;\; f^{-1}(y)$ , y $\displaystyle{D_{y}f^{-1}(y)=\frac{1}{D_{x}y}}$
Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Consideremos la función definida por:

$\begin{array}{lcl} f:]0,+\infty[ & \rightarrow & ]-3,+\infty[ \\ x & \rightarrow & x^{2}-3=f(x)=y \end{array}$

Esta función posee función inversa definida por:

$\begin{array}{ccc} g:]-3,+\infty[ & \rightarrow & ]0,+\infty[ \\ y & \rightarrow & \sqrt{y+3}=g(y) \end{array}$

Se tiene que $\displaystyle{g'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y+3}}}$

Como

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1}{D_{x}(x^{2}-3)}=\frac{1}{f'(x)}}$

Note que: $\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=x\;\;\mbox{pues}\;\;x\in ]0,+\infty[$

Sea $y=f(x)=x^{3}$ la ecuación de una función definida en $I\!\!R$ tal que $g(y)=\sqrt[3]{y}=x, \;\;\mbox{o sea}\;\;f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ .

Se tiene que $\displaystyle{g'(y)=\frac{1}{3\sqrt[3]{y^{2}}},\;\;\mbox{y como}\;\;y=x^{3}}$ entonces

$\displaystyle{g'(y)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x^{3})^{2}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{6}}}=\frac{1}{3x^{2}}=\frac{1}{f'(x)}}$

Así: $\displaystyle{D_{y}x=\frac{1}{D_{x}y}}$

El teorema anterior será de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.