Lic. Elsie Hernández S.

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 La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo como resultado dos límites:

$m_{t}(x_{o})= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_o}}{\frac{f(x)-f(x_o)}{x - x_o }}}, \, v(t_{o})= {\lim_{t \rightarrow{t_o}}{\frac{f(t)-f(t_o)}{t - t_o }}} $

Ambos límites tiene básicamente la misma forma y son casos específicos de un tipo especial de límite que se define a continuación.

 

  Definición de derivada
  Sea $f$ una función real definida en un intervalo $I\subset I\!\!R $. Sea $x_{o}\in I$
La derivada de f en el punto $x_o$, denotada $f'(x_o)$, es el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_o}}{\frac{f(x) - f(x_o)}{x - x_o}}}$ si este límite existe.

Note que, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación $y = f(x)$ en el punto $(x_{o},f(x_{o}))$, es precisamente la derivada de $f$ evaluada en $x_o$.

También, si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento $s=f(t)$, puede observarse que $v(t_{1})$ en la definición de velocidad instantánea de la partícula en $t_1$, es la derivada de $f$ respecto a $t$, evaluada en $t_1$.

Si en la definición de derivada se sustituye $x-x_o$ por h, entonces $h\rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow x_o$ y $x = x_{o}+h$.

Luego $f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}}}$, si este límite existe. La función $f$ es derivable en $x_o$ si $f'(x_o)$ existe.
Si $f'(x)$ existe para cada $x$ en un intervalo $I$, $(I \subset I\!\!R)$, se dice que la función $f$ es derivable en $I$; se escribe $f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Ejemplos:

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

  1. $f(x)= 5x-3$
    Se debe calcular el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{(x+h)-f(x)}{h}}}$

    La expresión $f(x+h)$ indica que la función $f$ debe evaluarse en $(x+h)$. Así $f(x+h)= 5(x+h)-3$

    Luego:

    $f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

    $= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5(x+h)-3-(5x-3)}{h}}}$

    $= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5x+5h-3-5x+3}{h}}}$

    $= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{5h}{h}}}$

    $f'(x)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{5}} = 5$

    Por tanto, si $f(x)= 5x-3$ entonces $f'(x)=5$

  2. $\displaystyle{f(x)= \frac{3}{x^2}, \, x\neq 0}$

    En este caso $\displaystyle{f(x+h)= \frac{3}{(x+h)^2}}$

    Luego:

    $f'(x)= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{\frac{3}{(x+h)^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{3x^{2}-3(x+h)^{2}}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{3x^{2}-3x^{2}-6xh-3h^{2}}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3h(2x+h)}{hx^{2}(x+h)^{2}}}}$

    $= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-3(2x+0)}{x^{2}(x+0)^{2}}}}$

    $= \displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{-6x}{x^{2}.x^{2}}}}\; = \frac{-6}{x^{3}}$

    Si $f(x)= \displaystyle{\frac{3}{x^{2}}}$ entonces $f'(x)= \displaystyle{\frac{-6}{x^{3}}}$

  3. $g(u)= (2u+1)^{2}$

    En este caso $g(u+h)=[2(u+h)+1]^2$

    Luego:

    $g'(u)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{g(u+h)-g(u)}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{[2(u+h)+1]^{2}-(2u+1)^{2}}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{[2(u+h)+1+(2u+1)][2(u+h)+1-(2u+1)]}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{(2u+2h+1+2u+1)(2u+2h+1-2u-1)}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{(4u+2h+2)(2h)}{h}}}$

    $=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{2(4u+2h+2)}}$

    $g'(u)=2(4u+0+2)= 8u+4$

    Si $g(u)= (2u+1)^{2}$ entonces $g'(u)=8u+4$

Ejercicio:

Determine, utilizando la definición de derivada, la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

  1. $f(t)=\sqrt{t+1}, \; t>-1$

  2. $f(x)= x^{3}+2x^{2}-4$

  3. $\displaystyle{g(y)= \frac{3y}{y+2},\; y \neq -2}$

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