Lic. Elsie Hernández S.

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Continuidad y derivabilidad

En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene "brincos" o "saltos bruscos".
Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una función $f$ en un punto $x_o$, por medio del siguiente teorema.

 

  Teorema

Si una función $f$ es derivable en un punto $x_o$, entonces $f$ es continua en $x_o$.
Prueba: Al final del capítulo.

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él.
Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales.

 

  Definición 
 

Si $f$ es una función continua definida en $x=x_o$, entonces:

  1. La derivada por la derecha, que se denota $f_{+}'(x_{o})$, se define por la igualdad: $f_{+}'(x_{o})= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_{o}^+}}{\frac{f(x)-f(x_o)}{x - x_o }}}$, siempre que el límite exista.

La derivada por la izquierda, denotada $f_{-}'(x_{o})$, se define por la igualdad: $f_{-}'(x_{o})= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow{x_{o}^-}}{\frac{f(x)-f(x_o)}{x - x_o }}}$, siempre que el límite exista.

 

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que $f'(x_o)$ existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así:

$f'(x_o)$ existe $\Leftrightarrow \; f_{+}'(x_{o})=f_{-}'(x_{o}) $

Ejemplos:

  1. Consideremos la función $f$ definida por: $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl}x+1 & \mbox{si} & x<1\\ -x+3 & \mbox {si}& x\geq1 \end {array} \right.$

    Vamos a determinar si $f$ es continua en 1 y si $f'(1)$ existe.

    Para lo primero tenemos que:

     

    a.  $f(1)$ existe pues $f(1)= -1+3=2$
    b.
    		 Como $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1^+}}{f(x)}}={\lim_{x \rightarrow{1^+}}{-x+3}}=2$,y $\lim_{x \rightarrow{1^-}}{f(x)=\lim_{x \rightarrow{1^-}}{x+1}=2}$ entonces            

    Luego $f$ es continua en $x=1$ pues $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1}}{f(x)}}= f(1)$

    Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

    a.

     
    b. $f_{-}'(1)= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1^-}}{\frac{f(x)-1}{x - 1}}}\; = \... ...\frac{x+1-2}{x - 1}}}\;=\;{\lim_{x \rightarrow{1^-}}{\frac{x-1}{x - 1}}}\; =\;1$

    Como $f_{+}'(1)\neq f_{-}'(1)$ entonces $f'(1)$ no existe.

    Luego, se ha comprobado que aunque $f$ es continua en $x=1$ se tiene que $f$ no es derivable en $x=1$.

    La representación gráfica de la función es la siguiente:

    Note que en $x=1$ la gráfica de $f$ tiene un "pico", siendo precisamente en $x=1$ donde no es derivable la función.

  2. Sea $f$ la función con ecuación: $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl}x^2 & \mbox{si} & x>0\\ \sqrt{-x} & \mbox {si}& x\leq 0 \end {array} \right.$
    Determinemos si $f'(0)$ existe y si $f$ es continua en $x=0$

    Calculemos las derivadas laterales

     

    a. $f_{+}'(0)=\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^+}}{\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}}}\; =... ...rrow{0^+}}{\frac{x^{2}-0}{x - 0}}}\; = \;{\lim_{x \rightarrow{0^+}}{x}}\; = \;0$
    b.


    Luego $f_{+}'(0)\neq f_{-}'(0)$ por lo que $f$ no es derivable en $x=0$

    Probemos ahora si f es continua en $x=0$

     

    a. $f(0)$ existe pues $f(0)=0$; $f(0)=\sqrt{-0}=\sqrt{0}=0$
    b. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^+}}{f(x)}}\; = {\lim_{x \rightarrow{0^+}}{x^{2}}}\; = 0$ y ${\lim_{x \rightarrow{0^-}}{f(x)}}={\lim_{x \rightarrow{0^-}}{\sqrt{-x}}}=0$

    Entonces $f$ es continua pero no es derivable en $x=0$.

    La representación gráfica de la función es la siguiente:

    Note que la gráfica tiene una tangente vertical en $(0,0)$..

    El hecho de que $f$ no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

  3. Sea $f$ la función con ecuación: $f(x)= \left\{\begin{array}{lcl}x^{2}-4 & \mbox{si} & x<2\\ \sqrt{x-2} & \mbox {si}& x\geq 2 \end {array} \right.$
    Determinemos si esta función es continua y derivable en $x=2$. Se tiene que $f(2)$ existe pues $f(2)= \sqrt{2-2}=\sqrt{0}=0$

    Como
    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^+}}{f(x)}}\; ={\lim_{x \rightarrow{2^+}}{\sqrt{x-2}}}\; = 0$ y $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^-}}{f(x)}}\; = {\lim_{x \rightarrow{2^-}}{x^{2}-4}}\; = 0$

    Entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}}$ existe y además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}} \; = \; f(2)$, por lo que $f$ es una función continua en $x=2$.

    Estudiemos ahora las derivadas laterales:

     

    a.
    b.

    Como $f_{+}'(2)\neq f_{-}'(2)$ entonces $f'(2)$ no existe.

    Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.

    La representación gráfica de esta función es la siguiente:

     
    Note que nuevamente la recta tangente a la curva en $x=2$ es una línea vertical.

Ejercicio:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

  1. $f(x)= \left\{\begin{array}{lcll} -1 & \mbox{si} & x<0 & \\ & & & x_{o}=0\\ x-1 & \mbox {si}& x\geq 0 & \end {array} \right.$

  2. $f(x)= \vert x-3\vert, \; x_{o}=3$


    a.
    Determine si $f$ es continua en $x_o$

    b.
    Halle $f_{+}'(x_o)$ y $f_{-}'(x_o)$

    c.
    Determine si $f$ es derivable en $x_{o}$

    d.
    Haga la representación gráfica.

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