Derivada de una función

Lic. Elsie Hernández S.

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Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Conviene recordar que:

a.: Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).
b.: Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno".
De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación.
Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función.

Función seno inverso

Al considerar la gráfica de la función seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

$\displaystyle{\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\left[\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right],\left[\frac{-5\pi}{2},\frac{-3\pi}{2}\right]}$ , etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo $\displaystyle{\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ . Luego, se define la función seno como:

$\displaystyle{F=\left\{(x,y)/\; y=sen\;x, \;\;\mbox{con}\;\; x\in \left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \;y\in [-1,1] \right\}}$

La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo $\displaystyle{\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ , por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:

Se tiene entonces que $\displaystyle{y=arc\;sen\;x \Leftrightarrow x = sen\; y, \;\;y\in \left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }$ .

Luego, $arc\;sen\;r\;\; \mbox{con}\;\; r\in [-1,1]$ es el único número $\displaystyle{t\in \left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ para el cual $sen\;t=r$ .

Ejemplos:

a.	$arc\;sen\;0=0\;\;\mbox{pues}\;\; sen\;0=0$
b.	$\displaystyle{arc\;sen\;(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\pi}{4}\;\;\mbox{pues}\;\; sen\;(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}}$
c.	$\displaystyle{arc\;sen\;(\frac{-1}{2})=\frac{-\pi}{3}\;\;\mbox{pues}\;\; sen\;(\frac{-\pi}{3})=\frac{-1}{2}}$
d.	$\displaystyle{arc\;sen\;\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; sen\;\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:

Derivada de la función seno inverso

Como $y=arc\;sen\;x \Leftrightarrow x= sen\; y, \;\;\mbox{para}\;\; y\in \displaystyle{\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \;\; x\in [-1,1]}$ , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;x)=\frac{1}{D_{y}sen\;y}=\frac{1}{cos\;y}}$

Como $cos^{2}\;y+sen^{2}\;y=1$ , y $\displaystyle{cos\;y \geq 0\;\;\mbox{para}\;\; y\in \left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ entonces $cos\;y=\sqrt{1-sen^{2}\;y}=\sqrt{1-x^{2}}$ pues $x=sen\;y$ .

Luego: $\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\;\;\mbox{para}\;\; x\in ]-1,1[ }$

En general $\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;f(x))=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^{2}}}, f(x)\in]-1,1[}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;5x^{2})=\frac{1}{\sqrt{1-(5x^{2})^{2}}}\cdot D_{x}(5x^{2})=\frac{10x}{\sqrt{1-25x^{4}}},\;\;\vert x\vert<\frac{1}{\sqrt{5}}}$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;\sqrt{x})=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\cdot D_{x}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}, \;\;x\in ]0,1[}$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;sen\;x)^{3}=3(arc\;sen\;x)^{2}\cdot \frac{1}{1-x^{2}}=\frac{3\;arc\;sen^{2}x}{\sqrt{1-x^{2}}}}, \;\;x\in]-1,1[$

Ejercicio:

Determine $D_{x}h(x)$ si:

a.	$h(x)=\displaystyle{arc\;sen\;\left(\frac{2x}{x+1}\right)}$
b.	$h(x)=arc\;sen\;(2x^{2}+3)$

Función coseno inverso

Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: $[-2\pi,-\pi],[0,\pi],[2\pi,3\pi]$ , etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.

Sea entonces la función tal que:

$F=\{(x,y)/\;y=cos\;x,\;\;\mbox{con}\;\;x\in [0,\pi],\;y\in [-1,1] \}$

La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo $[0,\pi]$ , por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota $arc\;cos$ .

Se define de la siguiente forma:

$\begin{array}{ccc} arc\;cos: \;[-1,1] & \rightarrow & [0,\pi] \\ x & \rightarrow & arc\;cos\;x \end{array}$

Se tiene que $y=arc\;cos\;x\Leftrightarrow x= cos\;y\;\;\mbox{con}\;\; y\in [0,\pi]$

Luego, $arc\;cos\;k \;\;\mbox{con}\;\; k\in [-1,1]$ es el único número $\alpha$ con $\alpha \in [0,\pi]$ para el que $cos\;\alpha=k$

Ejemplos:

a.
b.	$\displaystyle{arc\;cos\;(\frac{-\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; cos\;(\frac{5\pi}{6})=\frac{-\sqrt{3}}{2}}$
c.	$\displaystyle{arc\;cos\;0=\frac{\pi}{2}\;\;\mbox{pues}\;\; cos\;(\frac{\pi}{2})=0}$
d.	$\displaystyle{arc\;cos\;\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\;\;\mbox{pues}\;\; cos\;\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}$

La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente:

Derivada de la función coseno inverso

Como $y=arc\;cos\;x \Leftrightarrow x=cos\;y\;\;\mbox{para}\;\; y\in[0,\pi],\; x\in[-1,1]$ , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;x)=\frac{1}{D_{y}cos\;y}=\frac{1}{-sen\;y}=\frac{-1}{sen\;y}}$

Como $cos^{2}\;y+sen^{2}\;y=1$ , y $\displaystyle{sen\;y \geq 0\;\;\mbox{para}\;\; y\in [0,\pi]}$ entonces $sen\;y=\sqrt{1-cos^{2}\;y}=\sqrt{1-x^{2}}$ pues $x=cos\;y$ .

Luego: $\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\;\;\mbox{con}\;\; x\in ]-1,1[ }$

En general $\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;f(x))=\frac{-1}{\sqrt{1-[f(x)]^{2}}}\cdot D_{x}f(x) , f(x)\in]-1,1[}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;3x)=\frac{-1}{\sqrt{1-(3x)^{2}}}\cdot D_{x}(3x)=\frac{-3}{\sqrt{1-9x^{2}}},\;\;\vert x\vert<\frac{1}{3}}$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;\frac{1}{x})=\frac{-1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^{2}}... ...D_{x}(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}, \;\;\vert x\vert>1}$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;cos\;e^{x})=\frac{-1}{\sqrt{1-(e^{x})^{2}}}\cdot e^{e}=\frac{-e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}}, \;\;x\in]-1,0[$

Ejercicio:

Determine $D_{x}g(x)$ si:

a.	$g(x)=arc\;cos\;(2x+1)$
b.	$\displaystyle{g(x)=arc\;cos\;\frac{2x}{arc\; cos\;x}}$

Función tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al intervalo $\displaystyle{\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[}$ , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.

Luego se define la función tangente como:

$\displaystyle{G=\left\{(x,y)/\;y=tan\;x,\;\;\mbox{con}\;\;x\in \left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\;y\in I\!\!R\right\}}$

Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada $arc\;tan$ , como:

$\begin{array}{ccc} arc\;tan: I\!\!R& \rightarrow & \displaystyle{\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[} \\ x & \rightarrow & arc\;tan\;x \end{array}$

Se tiene que $y=arc\;tan\;x\Leftrightarrow x= tan\;y\;\;\mbox{con}\;\; y\in \displaystyle{\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[}$ , $x\in I\!\!R$

Luego, $arc\;tan\;k \;\;\mbox{con}\;\; k\in I\!\!R$ es el único número $\alpha$ con $\alpha \in \displaystyle{\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[}$ para el que $tan\;\alpha=k$

Ejemplos:

$arc\;tan\;1=\frac{\pi}{4}\;\;\mbox{pues}\;\; tan\;\frac{\pi}{4}=1$

$arc\;tan\;0=0\;\;\mbox{pues}\;\; tan\;0=0$

$arc\;tan\;\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{-\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; tan\;(\frac{-\pi}{6})=\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$

Además:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{arc\;tan\;x}=\frac{\pi^{-}}{2}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi^{-}}{2}}}{tan\;x}=+\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{arc\;tan\;x}=\frac{-\pi^{-}}{2}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{\frac{-\pi^{-}}{2}}}{tan\;x}=-\infty}$

La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:

Derivada de la función arcotangente

Como $y=arc\;tan\;x \Leftrightarrow x=tan\;y\;\;\mbox{para}\;\; y\in\displaystyle{\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[},\; x\in I\!\!R$ , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arctan\;x)=\frac{1}{D_{y}tan\;y}=\frac{1}{sec^{2}\;y}}$

Como $tan^{2}\;y+1=sec^{2}\;y$ , y $x=tan\;y$ entonces $sec^{2}\;y=1+x^{2}$ por lo que:
$D_{x}(arctan\;x)=\displaystyle{\frac{1}{1+x^{2}},\;\;x \in I\!\!R}$

En general $\displaystyle{D_{x}(arctan\;f(x))=\frac{1}{\sqrt{1+[f(x)]^{2}}}\cdot D_{x}f(x)}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;tan\;5x^{3})=\frac{1}{1+(5x^{3})^{2}} \cdot D_{x}(5x^{3})=\frac{15x^{2}}{1+25x^{6}}} ,\;\;x\in I\!\!R$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;tan\;\sqrt{x})=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} }, \;\;x>0$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;tan\;ln\;x)=\frac{1}{1+(ln\;x)^{2}}\cdot D_{x}(ln\;x)=\frac{1}{x(1+ln^{2}\;x)}}, \;\;x>0$

Ejercicio:

Determine $D_{x}h(x)$ si:

a.	$\displaystyle{h(x)=arc\;tan\;\left(\frac{x}{2x+1}\right)},\;\;x\neq \frac{-1}{2}$
b.	$\displaystyle{h(x)=\frac{2x}{arctan\;(x+1)}},\;\; x\neq -1$
c.	$\displaystyle{h(x)=arctan\;\left(\frac{2}{x}\right),\;\; x\neq 0}$

Función cotangente inversa

Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de ésta al intervalo $]0,\pi[$ , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee función inversa.

Se define función cotangente como:

$\displaystyle{H=\left\{(x,y)/\;y=cot\;x,\;\;\mbox{con}\;\;x\in ]0,\pi[,\;\;y\in I\!\!R\right\}}$

La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada $arc\;cot$ , se define como:

$\begin{array}{ccc} arc\;cot:I\!\!R& \rightarrow & ]0,\pi[ \\ x & \rightarrow & cot\;x \end{array}$

Por la definición de la función arco cotangente se tiene que $y=arc\;cot\;x\Leftrightarrow cot\;y=x\;\;\mbox{con}\;\; y\in ]0,\pi[,\;\;x\in I\!\!R$ .

Luego, $arc\;cot\;k \;\;\mbox{con}\;\; k\in I\!\!R$ es el único número $\alpha$ con $\alpha \in ]0,\pi[$ para el que $cot\;\alpha=k$

Ejemplos:

$arc\;cot\;1=\frac{\pi}{4}\;\;\mbox{pues}\;\; cot\;\frac{\pi}{4}=1$

$arc\;cot\;0=\frac{\pi}{2}\;\;\mbox{pues}\;\; cot\;\frac{\pi}{2}=0$

$arc\;cot\;\sqrt{3}=\frac{\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; cot\;(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

Además:
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{arc\;cot\;x}=0^{+}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{cot\;x}=+\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{arc\;cot\;x}=\pi^{-}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{\pi^{-}}}{cot\;x}=-\infty}$

La representación gráfica de la función cotangente y la de la función arcocotangente es la siguiente:

Derivada de la función cotangente inversa

Como $y=arc\;cot\;x \Leftrightarrow x=cot\;y\;\;\mbox{para}\;\; y\in]0,\pi[,\; x\in I\!\!R$ , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;cot\;x)=\frac{1}{D_{y}cot\;y}=\frac{1}{-csc^{2}\;y}=\frac{-1}{csc^{2}\;y}}$

Como $cot^{2}\;y+1=csc^{2}\;y$ , y $x=cot\;y$ entonces $csc^{2}\;y=1+x^{2}$ por lo que:
$D_{x}(arc\;cot\;x)=\displaystyle{\frac{-1}{1+x^{2}},\;\;x \in I\!\!R}$

En general $\displaystyle{D_{x}(arc\;cot\;f(x))=\frac{-1}{1+[f(x)]^{2}}\cdot D_{x}f(x)}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arc\;cot\;7\sqrt{x})=\frac{-1}{1+(7\sqrt{x})^{2}} \cdot D_{x}(7\sqrt{x})=\frac{-7}{2\sqrt{x}(1+49x)}} ,\;\;x>0$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;cot^{2}\;x)=2\;arc\;cot\;x \cdot \frac{-1}{1+x^{2}} =\frac{-2\;arc\;cot\;x}{1+x^2} }, \;\;x\in I\!\!R$
$\displaystyle{D_{x}(arc\;cot\;e^{x})=\frac{-e^{x}}{1+e^{2x}}, \;\;x\in I\!\!R}$

Ejercicio:

Determine $D_{x}h(x)$ si:

a.	$\displaystyle{h(x)=\frac{2x}{arc\;cot\;x}}$
b.	$\displaystyle{h(x)=\sqrt{arc\;cot\;x}}$

Función secante inversa

Vamos a elegir como dominio de la función secante el intervalo de donde $I=\displaystyle{\left[-\pi,\frac{-\pi}{2}\right]\;\;\cup\;\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ , ya que en la función secante es biunívoca y la derivada de la función inversa puede expresarse por medio de una sola fórmula.

La representación gráfica de la función secante en el intervalo señalado es el siguiente:

Como puede observarse, la función secante es continua en , siendo estrictamente decreciente en y estrictamente creciente en .

Existe por tanto la función secante inversa, llamada también arco secante y se denota definida por:

Por la definición de función arcosecante se tiene que:

Luego, $arc\;sec\;k \;\;\mbox{con}\;\; k\in ]-\infty,-1[\;\;\cup\;\;]1,+\infty[$ es el único número $\alpha$ con $\alpha \in \displaystyle{\left[-\pi,\frac{-\pi}{2}\right]\;\;\cup\;\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ tal que $sec\;\alpha=k$

Ejemplos:

a.	$\displaystyle{arcsec\;\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; sec\;\frac{\pi}{6}=\frac{2}{\sqrt{3}}}$
b.	$arcsec\;-1=\pi\;\;\mbox{pues}\;\; sec\;\pi=-1$
c.	$\displaystyle{arcsec\;2=\frac{\pi}{3}\;\;\mbox{pues}\;\; sec\;(\frac{\pi}{3})=2}$

La representación gráfica de la función arcosecante es la siguiente:

Note que:
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{arcsec\;x}=\frac{\pi^{-}}{2}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi^{-}}{2}}}{sec\;x}=+\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{arcsec\;x}=\frac{-\pi^{-}}{2}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{\frac{-\pi^{-}}{2}}}{sec\;x}=-\infty}$

Derivada de la función secante inversa

Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arcsec\;x)=\frac{1}{D_{y}sec\;y}=\frac{1}{sec\;y\;tan\;y}}$

Como $tan^{2}\;y=sec^{2}\;y-1$ , y $tan\;y>0$ cuando $y \in \displaystyle{\left[-\pi,\frac{-\pi}{2}\right]\;\;\cup\;\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ , entonces $tan\;y=\sqrt{sec^{2}\;y-1}=\sqrt{x^{2}-1}$ pues $x=sec\;y$

Luego $D_{x}(arc\;sec\,x)=\displaystyle{\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}},\;\;\mbox{con}\;\;\vert x\vert>1}$

En general, si $u=f(x)\;\;\mbox{con}\;\;\vert f(x)\vert>1$ entonces $\displaystyle{D_{x}(arcsec\;u)=\frac{1}{u\sqrt{u^{2}-1}}\cdot D_{x}u}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arcsec\;2x)=\frac{1}{2x\sqrt{(2x)^{2}-1}} \cdot D_{x}(2x)=\frac{2}{2x\sqrt{4x^{2}-1}}} ,\;\;x>\frac{1}{2}$
$\displaystyle{D_{x}(arcsec\;\frac{1}{x})=\frac{1}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^{... ...{\frac{1}{x^{2}}-1}}=\frac{-1}{x\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}} , \;\;\vert x\vert<1}$

Ejercicio:

Determine $D_{x}h(x)$ si:

a.	$\displaystyle{h(x)=arcsec\;\sqrt{x}}$
b.	$\displaystyle{h(x)=arcsec\;(3x+2)}$

Nota:

La función secante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad: $\displaystyle{arcsec\;x=arccos\;(\frac{1}{x})}\;\;\mbox{con}\;\;\vert x\vert\geq1$ . En este caso $D_{x}arcsec\;x\frac{1}{\vert x\vert\sqrt{x^{2}-1}}\;\;\mbox{con}\;\;\vert x\vert>1$

Se deja como ejercicio para el estudiante que compruebe esta igualdad.

Función cosecante inversa

Tomaremos como dominio de la función cosecante el intervalo $I=\displaystyle{\left[-\pi,\frac{-\pi}{2}\right]\;\;\cup\;\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ , en el que la función cosecante es biunívoca.

La representación gráfica de la función cosecante en el intervalo señalado es la siguiente:

Como puede observarse, la función cosecante es continua en , siendo estrictamente creciente en y estrictamente decreciente en .

Existe por tanto la función cosecante inversa, llamada también arco cosecante y que se denota definida por:

Por la definición de función arco cosecante se tiene que:

Luego, es el único número $\alpha$ con tal que $csc\;\alpha=k$

Ejemplos:

a.	$\displaystyle{arccsc\;\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}\;\;\mbox{pues}\;\; csc\;\frac{\pi}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}}$
b.	$\displaystyle{arccsc\;-1=\frac{-\pi}{2}\;\;\mbox{pues}\;\; csc\;\frac{-\pi}{2}=-1}$
c.	$\displaystyle{arccsc\;\sqrt{2}=\frac{\pi}{4}\;\;\mbox{pues}\;\; csc\;(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}}$
d.	$\displaystyle{arccsc\;-2=\frac{-5\pi}{6}\;\;\mbox{pues}\;\; csc\;(\frac{-5\pi}{6})=-2}$

La representación gráfica de la función arco cosecante es la siguiente:

Note que:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{arccsc\;x}=0^{+}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{csc\;x}=+\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{arccsc\;x}=-\pi^{+}\;\;\mbox{pues}\;\;\lim_{x \rightarrow{-\pi^{+}}}{csc\;x}=-\infty}$

Derivada de la función cosecante inversa

Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

$\displaystyle{D_{x}(arccsc\;x)=\frac{1}{D_{y}csc\;y}=\frac{1}{-csc\;y\;cot\;y}=\frac{-1}{csc\;y\;cot\;y}}$

Como $cot^{2}\;y=csc^{2}\;y-1$ , y $cot\;y>0$ para $y \in \displaystyle{\left[-\pi,\frac{-\pi}{2}\right]\;\;\cup\;\;\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ , entonces $cot\;y=\sqrt{csc^{2}\;y-1}=\sqrt{x^{2}-1}$ pues $x=csc\;y$

Luego $D_{x}(arccsc\;x)=\displaystyle{\frac{-1}{x\sqrt{x^{2}-1}},\;\;\mbox{para}\;\;\vert x\vert>1}$

En general, si $u=f(x)\;\;\mbox{con}\;\;\vert f(x)\vert>1$ entonces $\displaystyle{D_{x}(arccsc\;u)=\frac{-1}{u\sqrt{u^{2}-1}}\cdot D_{x}u}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}(arccsc\;x^{2})=\frac{-1}{x^{2}\sqrt{(x)^{4}-1}} \cdot D_{x}(x^{2})=\frac{-2x}{x^{2}\sqrt{x^{4}-1}}=\frac{-2}{x\sqrt{x^{4}-1}}} ,\;\;x>1$
$\displaystyle{D_{x}(arccsc\;e^{x})=\frac{-1}{e^{x}\sqrt{e^{2x}-1}} \cdot D_{x} e^{x} =\frac{-e^{x}}{e^{x}\sqrt{e^{2x}-1}}=\frac{-1}{\sqrt{e^{2x}-1}}} , \;\;x>0$

Ejercicio:

Determine $D_{x}h(x)$ si:

a.	$\displaystyle{h(x)=arccsc\;\sqrt[3]{x}}$
b.	$\displaystyle{h(x)=arccsc\;\frac{2}{x}}$

Nota:
La función cosecante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad: $\displaystyle{arccsc\;x=arcsen\;(\frac{1}{x})}\;\;\mbox{con}\;\;\vert x\vert\geq 1$ .
Además $\displaystyle{D_{x}arccsc\;x=\frac{-1}{\vert x\vert\sqrt{x^{2}-1}}\;\;\mbox{con}\;\;\vert x\vert>1}$ , igualdad que debe comprobar el estudiante como ejercicio.

Verifiquemos que $\displaystyle{arccsc\;x=arcsec{\frac{1}{x}}}$ .

$arccsc\;x=y\Leftrightarrow csc\;y=x\Leftrightarrow \frac{1}{sen\;y}=x\Leftrightarrow \frac{1}{x}=sen\;y\Leftrightarrow arcsen\;\frac{1}{x}=y$

Luego $arccsc\;x=arcsen(\frac{1}{x})$ , y se verifica la igualdad.

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