Lic. Elsie Hernández S.

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   Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada) 
 

Sea $f$ una función que cumple las condiciones siguientes:

  1. $f$ es continua sobre un intervalo cerrado $[a,b]$
  2. $f$ es derivable sobre un intervalo abierto $]a,b[$
  3. $f(a)=f(b)=0$

Entonces existe por lo menos un número real $c$ tal que $a<c<b\;\;\mbox{y}\;\;f'(c)=0$.
O sea $f'(x)=0$ para cierto $c\;\;\mbox{entre}\;\;a\;\;\mbox{y}\;\;b$.
Demostración: Al final del capítulo.

 

Interpretación geométrica

Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje $X$ en $(a,0)\;\;\mbox{y}\;\;(b,0)$ y tiene una recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo $]a,b[$, entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje $X$.

Gráficamente se tiene:

El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los extremos del intervalo $[a,b]$ no interseque al eje $X$, sí tome valores iguales para "a" y "b", es decir, $f(a)=f(b)$.

Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede suceder que no exista ningún valor "c" para el que $f'(c)$ sea igual a cero.

Por ejemplo, la función $f$ con ecuación $f(x)=2+\sqrt[3]{x^{2}}$ es continua en el intervalo $[-1,1]$ y además se cumple que $f(-1)=f(1)$, pero la derivada de $f,\;\;f'(x)=\displaystyle{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}$ no está definida para $x=0,\;(0\in ]-1,1[)$, y se tiene que $f'(x)$ no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo $[-1,1]$ es la siguiente:

Ejemplos:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

  1. $f(x)=x^{2}-3x+2;\;\;[1,2]$

  2. $f(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2;\;\;[-1,2]$

  3. $f(x)=x^{3}+5x^{2}-6x;\;\;[0,1]$ Ejercicio para el estudiante

  4. $f(x)=cos^{2}\;x;\;\;\displaystyle{\left[\frac{-\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]}$ Ejercicio para el estudiante

Solución:

  1. Por ser $f$ una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo $x\in I\!\!R$. se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el intervalo $[1,2]$

    Además $f(1)=0\;\;\mbox{y}\;\;f(2)=0$ por lo que la curva interseca al eje $X$ y se cumple la tercera condición.

    Luego, debe existir por lo menos un número $c\in ]1,2[$ tal que $f'(x)=0$

    Como $f'(x)=2x-3\;\;\mbox{y}\;\;f'(x)=0$ si y solo si $x=\displaystyle{\frac{3}{2}}$ entonces puede tomarse $c=\displaystyle{\frac{3}{2},\;\; \frac{3}{2}\in ]1,2[}$

    Luego en el punto $\displaystyle{\left(\frac{3}{2},f(\frac{3}{2})\right)}$ la recta tangente es paralela al eje $X$

     

  2. De nuevo, $f$ es una función polinomial y por tanto es derivable, y continua para toda $x\in I\!\!R$. En particular, en el intervalo $[-1,2]$ se cumplen las dos primeras condiciones.

    Además $f(-1)=0\;\;\mbox{y}\;\;f(2)=0$ verificándose la tercera condición.

    Luego, el teorema es válido en el intervalo $[-1,2]$ y existe $c\in ]-1,2[$ tal que $f'(c)=0$. Como $f'(x)=3x^{2}-4x-1$ entonces $f'(x)=0$ si y solo si $x=\displaystyle{\frac{2+\sqrt{7}}{3}\;\;\mbox{o}\;\;x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}}$. Note que ambos valores pertenecen al intervalo $]-1,2[$.

    Luego, en los puntos $\displaystyle{\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3},\frac{-8-27\sqrt{7}}{27}\right)\;\;\mbox{y}\;\; \left(\frac{2-\sqrt{7}}{3},\frac{-116-26\sqrt{7}}{27}\right)}$, la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje $X$.

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