Lic. Elsie Hernández S.

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  Teorema:  Regla de L'Hôpital

 

 Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto intervalo $[a,b]$ y tales que $f(a)=g(a)=0$.
Entonces, si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$ existe , también existirá $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$ y además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$
También, si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\infty}$ entonces $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty}$
Demostración Al final del capítulo.

Ejemplos:
Calculemos el $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\;x}}}$ utilizando el teorema anterior.
Observe que $e^{0}-e^{0}=1-1=0$, $sen\;0=0$ por lo que se tiene la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$
Luego:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{e^{x}-e^{-x}}{sen\;x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{e^{x}-e^{-x}(-1)}{cos\;x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{e^{x}+e^{-x}}{cos\;x}}=\frac{2}{1}}=2$

Nota: Si $f'(a)=0\;\;\mbox{y}\;\;g'(a)=0$ y las derivadas $f'(x)\;\;\mbox{y}\;\;g'(x)$ satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones $f$ y $g$, según la hipótesis de el teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f''(x)}{g''(x)}}}$

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$.

Ejemplos:

Calculemos los límites siguientes:

  1. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{tan\;x-x}{x-sen\;x}}}$

    Note que $tan\;0-0=0,\;\;0-sen\;0=0$; se presenta la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ y puede aplicarse el teorema.

    Luego:

    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{tan\;x-x}{x-sen\;x}}=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sec^{2}\;x-1}{1-cos\;x}}}$, aquí se presenta de nuevo la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ por lo que es posible aplicar otra vez el teorema.

    Entonces:
    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{tan\;x-x}{x-sen\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sec^{2}\;x-1}{1-cos\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{2sec\;x\;tan\;x\;sec\;x}{sen\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{2sec^{2}x\;sen\;x}{sen\;x\cdot cos\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{2sec^{2}\;x}{cos\;x}}=\frac{2\cdot 1}{1}=2}$

  2. $\displaystyle{\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{e^{y}-1-y}{y^{2}}}}$ forma: $\displaystyle{\frac{e^{0}-1-0}{0}=\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{e^{y}-1}{2y}}}$forma: $\displaystyle{\frac{e^{0}-1}{2\cdot 0}=\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{e^{y}}{2}}=\frac{e^{0}}{2}=\frac{1}{2}}$

  3. $\displaystyle{=\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{\theta -sen\;\theta}{tan^{3}\theta}}}$ forma: $\displaystyle{\frac{0-sen\;0}{tan^{3}\;0}=\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{1-cos\;\theta}{3tan^{2}\theta\;sen^{2}\theta}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{1-cos\;\theta}{3\cdot \frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta}\cdot \frac{1}{cos^{2}\theta} }}}$

    $\displaystyle{=\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{cos^{4}\theta(1-cos\;\theta)}{3(1-cos^{2}\theta)}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{cos^{4}\theta}{3(1+cos\;\theta)}}=\frac{1}{3(1+1)}=\frac{1}{6}}$

Ejercicio para el estudiante:

Calcule los límites siguientes utilizando la Regla de L'Hôpital.
Antes de aplicarla asegúrese de tener la forma indeterminada $\displaystyle{\frac{0}{0}}$.

  1. $\displaystyle{\lim_{y \rightarrow{\pi^{-}}}{\frac{sen\;y}{\sqrt{\pi-y}}}}$

  2. $\displaystyle{\lim_{u \rightarrow{0}}{\frac{sen\;u}{\sqrt{u}}}}$

  3. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{2}}}{\frac{ln(sen\;x)}{(\pi-2x)^{2}}}}$

  4. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{a^{x}-b^{x}}{x}}}$

 

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