Derivada de una función

Vamos a estudiar la derivada de la función

definida por $f(x)=log_{a}x$ , donde $x \in I\!\!R^{+} \; \mbox{y} \;\; a \in I\!\!R^{+}$ tal que $0<a<1 \; \mbox{o} \;a>1$

	Teorema
	Si $a>0\;\mbox{y}\;\;a\neq 1, \;\mbox{y si} \;\; x>0$ , entonces la función $log_{a}=\{(x,y)/\;y=log_{a}x, \;x\in ]0,+\infty[\}$ es derivable sobre su dominio $\displaystyle{]0,+\infty[\;\mbox{y} \;\; D_{x}log_{a}x= \frac{1}{x}log_{a}e, \; x>0}$ Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}log_{2}x=\frac{1}{x}log_{2}e}$

$\displaystyle{D_{x}log_{\frac{1}{2}}x=\frac{1}{x}log_{\frac{1}{2}}e}$

	Teorema
	Sea $a>0 \; \mbox{y} \; a\neq 1$ , si la función $g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$ es derivable y $g(x)\neq 0$ sobre un conjunto , entonces la función definida por $F(x)=log_{a}\vert g(x)\vert,\;x\in M$ , es derivable sobre y $\displaystyle{D_{x}log_{a}\vert u\vert=F(x)=log_{a}\vert u\vert=\frac{1}{u}(log_{a}e)D_{x}u, \;\; x\in M}$ . Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}log_{3}(5x^{2}+1)=\frac{1}{5x^{2}+1}\;\;log_{3}e(10x)= \frac{10x}{5x^{2}+1}\;\;log_{3}e}$

$\displaystyle{D_{x}log_{2}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;log_{2}e\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{log_{2}e}{2x},\;\;x>0}$

$\displaystyle{D_{x}\;\;log_{5}\left( \frac{x+1}{x^{2}+3}\right)}$

$\displaystyle{=\frac{3-2x-x^{2}}{(x+1)(x^{2}+3)}\;\;log_{5}e}, \;\;x>-1$

En particular si la base de los logaritmos es "

" entonces el $log_{e}x$ se denota por

, y:

$\displaystyle{D_{x}ln x= \frac{1}{x}}\;log_{e}e=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$ , es decir $D_{x}\;ln x=\frac{1}{x}$

es una función derivable con $g(x)\neq 0$ entonces:
$\displaystyle{D_{x}\;ln\vert g(x)\vert=\frac{1}{g(x)}D_{x}(g(x))}$

Ejemplos:

$\displaystyle{D_{x}ln 5x= \frac{1}{5x}D_{x}(5x)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}}$

$\displaystyle{D_{x}ln (\sqrt{x+1}+x)= \frac{1}{\sqrt{x+1}+x}D_{x}(\sqrt{x+1}+x)}$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{x+1}+x}\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+1 \right)},\;\;x>-1$

$\displaystyle{D_{x}ln ^{2}x=D_{x}[ln x]^{2}= 2[ln x]\cdot D_{x}ln x =2\; ln\; x\cdot \frac{1}{x}= \frac{2\;ln\;x}{x}}$

$\displaystyle{D_{x}ln^{4}(x^{2}+5)= D_{x}[ln (x^{2}+5) ]^{4}}$

$\displaystyle{=4[ln (x^{2}+5) ]^{3}\cdot \frac{1}{x^{2}+5}(2x)}$

$\displaystyle{=\frac{8x\cdot ln^{3}(x^{2}+5)}{x^{2}+5}}\;\;x\in I\!\!R$

$\displaystyle{D_{x}[ln(3x+1)-4x ]=\frac{3}{3x+1}-4=\frac{-12x-1}{3x+1}},\;\;x>\frac{-1}{3}$

$\displaystyle{D_{x}\left(\frac{2}{ln (x+1)}\right)}$

$\displaystyle{=D_{x}\left(2[ln(x+1)]^{-1}\right)}$

$\displaystyle{=-2[ln(x+1)]^{-2}\cdot \frac{1}{x+1}}$

$\displaystyle{=\frac{-2}{(x+1)ln^{2}(x+1)}}$

Ejercicio:

calcule, utilizando diferenciales, un valor aproximado a tres decimales de

Derivada de la función logarítmica