Derivada de una función

Derivada de las funciones trigonométricas

A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

$D_{x}sen\;x=cos\;x$
Prueba: Al final del capítulo.

Utilizando esta como guía, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonométricas.

En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que $D_{x}[seng(x)]=cos\;g(x)\cdot D_{x}g(x)$ .

Ejemplos:

a.	$D_{x}[sen\;6x]=cos\;6x\cdot D_{x}6x=6\;cox\;6x$
b.	$\displaystyle{D_{x}sen\;\sqrt[3]{x}=cos\;\sqrt[3]{x}\cdot D_{x}\sqrt[3]{x}=\frac{cos\;\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{x^{2}}}}$
c.	$D_{x}[sen\;e^{4x}]=cos\;e^{4x}\cdot D_{x}e^{4x}=cos\;e^{4x}\cdot e^{4x}\cdot 4= 4e^{4x}cos\;e^{4x}$
d.	$D_{x}(sen^{4}x)=D_{x}[(sen\;x)^{4}]=4(sen\;x)^{3}\cdot cos\;x=4sen^{3}x\;cos\;x$

Ejercicio:

Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones:

a.	$f(x)=sen\;(5x^{3}-2x^{2}+4)$
b.	$\displaystyle{g(x)=sen\;\left( \frac{2x}{ln\;2}\right)}$
c.	$h(x)=sen^{2}(3x)$

$D_{x}cos\;x=-sen\;x$

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

En general, si aplicando la regla de la cadena se tiene que $D_{x}[cos\;u]=-sen\;u\cdot D_{u}$

Ejemplos:

a.	$D_{x}[cos\;(8x^{3})]=-sen(8x^{3}\cdot D_{x}(8x^{3})=-24x^{2}\;sen\;(8x^{3}))$
b.	$\displaystyle{D_{x}\left(cos\;(\frac{3}{e^{x}}) \right)=D_{x}[cos\;(3\;e^{-x})]=-sen(3\;e^{-x})\cdot (3\;e^{-x}\cdot -1)=3\;e^{-x}\;sen\;(3\;e^{-x})}$
c.	$D_{x}(cos^{3}x)=D_{x}[(cos\;x)^{3}]=3(cos\;x)^{2}(-sen\;x)=-3\;cos^{2}x\;sen\;x$

Ejercicio:

Determine si:

a.	$f(x)=cos\;\sqrt[5]{x^{2}}$
b.	$\displaystyle{f(x)=cos\;\left(\frac{3x+1}{x}\right)}$
c.	$\displaystyle{f(x)=\sqrt{cos\;x},\;\;x\in ]n\pi ,\frac{2n+1}{2}\pi[, \;\;n\in Z}$
d.	$f(x)=4\;cos\;3^{x}$

$D_{x}tan\;{x}=sec^{2}x,\;\;\mbox{con}\;\;x\neq (2n+1)\;\frac{\pi}{2}, \;\;n\in Z$

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

En general, su entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que $D_{x}tan\;u=sec^{2}\;u\cdot D_{x}u$ .

Ejemplos:

a.	$\displaystyle{D_{x}tan\;\left(\frac{2}{x}\right)=sec^{2}\left(\frac{2}{x}\right... ...frac{-2}{x}\right)=\frac{-2}{x^{2}}\;sec^{2}\left(\frac{2}{x}\right)},\;x\neq 0$
b.	$\displaystyle{D_{x}tan\;(ln\;x)=sec^{2}(ln\;x)D_{x}ln\;x=\frac{sec^{2}(ln\;x)}{x},\;\; x>0}$
c.	$\displaystyle{D_{x}\sqrt{tan\;x}=\frac{1}{2\sqrt{tan\;x}}\cdot sec^{2}x=\frac{sec^{2}x}{2\sqrt{tan\;x}}}$

Ejercicio:

Determine si

a.	$f(x)=e^{tan\;x}$
b.	$f(x)=\sqrt[3]{tan\;2x}$
c.	$f(x)=tan^{3}(2x)$

$\displaystyle{D_{x}[cot\;x]=-csc^{2}x, \;\; x\neq \frac{\pi}{2}n,\;\;n\in Z}$
Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Si , aplicando la derivada para la composición de funciones se obtiene que $D_{x}(cot\;u)= -csc^{2}u\;D_{x}u$ .

Ejemplos:

a.	$\displaystyle{D_{x}(cot\;5x)=-csc^{2}\;5x\cdot 5=-5\;csc^{2}5x}$
b.	$\displaystyle{D_{x}(cot^{3}5x)=D_{x}[(cot\;5x)^{3}]=3(cot\;5x)^{2}\cdot -csc^{2}\;5x\cdot 5}$
c.	$\displaystyle{D_{x}\left(\frac{2}{cot\;x}\right)=\frac{-2(-csc^{2}\;x)}{(cot\;x)^{2}}=\frac{2\;csc^{2}\;x}{(cot\;x)^{2}}}$

Ejercicio:

Determine si

a.	$f(x)=cot\;(5^{x})$
b.	$f(x)=2\sqrt[3]{cot\;x}$
c.	$f(x)=cot \;(5x^{2}+5\;ln\;x)$

$\displaystyle{D_{x}(sec\;x)=sec\;x\;tan\;x,\;\; x\neq(2n+1)\frac{\pi}{2},\;\;n\in Z}$
Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que $D_{x}(sec\;u)= sec\;u\;tan\;u\;D_{x}u$ .

Ejemplos:

a.	$\displaystyle{D_{x}[sec\;(2x^{2})]=sec\;(2x^{2})\;tan\;(2x^{2})D_{x}(2x^{2})=4x\;sec\;(2x^{2})\;tan\;(2x^{2})}$
b.	$\displaystyle{D_{x}(e^{sec\;x})= e^{sec\;x}\;sec\;x\;tan\;x}$
c.	$\displaystyle{D_{x}sec \left(\frac{2}{x}\right)}=sec\;\left(\frac{2}{x}\right)\... ...}{x^{2}}sec\;\left(\frac{2}{x}\right)\;tan\;\left(\frac{2}{x}\right)\;\;x\neq 0$

Ejercicio:

Determine si

a.	$\displaystyle{f(x)=sec\;(\frac{2x-4}{x})}$
b.	$f(x)=sec\;\sqrt[3]{x^{2}+1}$
c.	$\displaystyle{f(x)=\frac{3x}{sec\;4x}}$

$D_{x}[csc\;x]=-csc\;x\;cot\;x, \;\;x\neq n\pi,\;\;n\in Z$

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que $D_{x}(csc\;u)= -csc\;u\;cot\;u\;D_{x}u$ .

Ejemplos:

a.
b.
c.	$\displaystyle{D_{x}ln\;(csc\;x)=\frac{1}{csc\;x}\cdot (-csc\;x\;cot\;x)=-cot\;x }$

Ejercicio:

Determine si

a.	$f(x)=e^{csc\;x^{2}}$
b.	$f(x)=\sqrt[3]{csc\;x}$
c.	$\displaystyle{f(x)=cot(\frac{x^{2}}{x+1}),\;\; x\neq -1}$