Derivada de una función

Lic. Elsie Hernández S.

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Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones $y=u^{3}, \; u=5x^{2}+8$ entonces puede escribirse "y" como $y=(5x^{2}+8)^{3}$ .

En igual forma, si $y=\sqrt{u}, \; u=4x^{2}+5x+2$ entonces puede expresarse "y" como $y=\sqrt{4x^{2}+5x+2}$ .

En general, si $y=f(u), \; u=g(x)$ entonces .

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

$f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$

$g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$

$h=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$

La función para la cual recibe el nombre de función compuesta y se escribe .

Observe que los elementos del dominio de son los que pertenecen al dominio de la función , tales que pertenezca al dominio de .

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

$h(x)= \sqrt[3]{6x-4}\;$ donde $f(x)=\sqrt[3]{x}\;$ y
$h(x)= e^{3x^{2}+1}\;= f(g(x))$ donde $f(x)=e^{x}\;$ y $g(x)=3x^{2}+1$

Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.

Teorema

Si la función $g=\{(x,y)/\; u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si la función $f=\{(u,y)/\;y=f(u)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{2}$ tal que $S_{2}=\{g(x)/\;x \in S_{2} \}$ , entonces la función compuesta $f(g)=\{(x,y)/\;y=f(g(x))\}$ es derivable sobre $S_{1}$ y $D_{x}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ , para $x \in S_{1}$ .
Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

$D_{x}[f(3x^{2}+1)]= f'(3x^{2}+1)\cdot D_{x}(3x^{2}+1)= f'(3x^{2}+1)\cdot 6x$
$\displaystyle{D_{x}[f(\sqrt{x})]=f'(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ con
$\displaystyle{D_{x}[f(\frac{2}{x})]=f'(\frac{2}{x})\cdot D_{x}(\frac{2}{x})=f'(\frac{2}{x})\cdot \frac{-2}{x^{2}}}$

	Corolario
	Si la función $g=\{(x,u)/\;u=g(x)\}$ es derivable sobre un intervalo $S_{1}$ y si $[g(x)]^{p}$ y $[g(x)]^{p-1}$ están definidas para $x \in S_{2}$ con $S_{2}\subseteq S_{1}, \; (p \in Q)$ , entonces la función $g^{k}= \{(x,y)/\;y=[g(x)]^{p}\}$ es derivable sobre $S_{2}$ y además $D_{x}[g(x)^{p}]= p(g(x))^{p-1}\cdot D_{x}g(x)$ , para $x \in S_{2}$ .

Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma $D_{x}y=D_{u}y\cdot D_{x}u$ con $y=u^{p}, \; u=g(x)$ y $D_{u}y=p \cdot u^{p-1}$

Ejemplos: de derivadas de funciones compuestas

$D_{x}(5x+3)^{4}$

En este caso por lo que

$D_{x}[(5x+3)^{4}]$

$=4(5x+3)^{3}\cdot D_{x}(5x+3)$

$= 4(5x+3)^{3}\cdot 5= 20(5x+3)^{3}$
$D_{x}[(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-2}]$

$=-2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot D_{x}(3x^{4}+5x^{2}+4)$

$= -2(3x^{4}+5x^{2}+4)^{-3}\cdot (12x^{3}+10x)$
$D_{x}\sqrt{5x^{2}+4}$

$\displaystyle{=D_{x}(5x^{2}+4)^{\frac{1}{2}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\cdot (5x^{2}+4)^{\frac{-1}{2}}\cdot (10x+0)}$

$\displaystyle{=\frac{5x}{\sqrt{5x^{2}+4}}}$
$D_{x}\sqrt[4]{6x^{4}+7x^{2}}$

$\displaystyle{=D_{x}(6x^{4}+7x^{2})^{\frac{1}{4}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{4}\cdot (6x^{4}+7x^{2})^{\frac{-3}{4}}\cdot (24x^{3}+14x)}$

$\displaystyle{=\frac{12x^{3}+7x}{2\sqrt[4]{(6x^{4}+7x^{2})^{3}}}}$
$D_{x}\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(5+\frac{12x}{2\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$

$\displaystyle{\frac{1}{2{\sqrt{5x+\sqrt{6x^{2}+1}}}}\cdot \left(\frac{5\sqrt{6x^{2}+1}+6x}{\sqrt{6x^{2}+1}}\right)}$