Lic. Elsie Hernández S.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

 

 

 


  Teorema del valor medio para derivadas  (Teorema de Lagrange)
 

Sea $f$ una función que cumple las propiedades siguientes:

  1. Es continua sobre un intervalo cerrado $[a,b]$
  2. Es derivable sobre un intervalo abierto $]a,b[$

Entonces existe por lo menos un número $c$ tal que $a<c<b$ y $f'(c)=\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.

Interpretación geométrica

El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

Consideremos la representación gráfica de una curva continua $f$:

La recta secante que une los puntos $P(a,f(a)),\;\;Q(b,f(b))$ tiene como pendiente $m_{s}=\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número $c\in ]a,b[$ tal que $m_{s}=f'(c)=\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

  1. $f(x)=x^{3}+x^{2}-x;\;\;[-2,1]$

  2.  

  3. $f(x)=x-1+\displaystyle{\frac{1}{x-1};\;\;\left[\frac{3}{2},3\right]}$

  4. $f(x)=\displaystyle{\frac{x^{2}+4x}{x-7}};\;\;[2,6]$

Solución:

  1. Por ser $f$ una función polinomial, es derivable para toda $x\in I\!\!R$ por lo que debe existir por lo menos un número $c\in ]-2,1[$ tal que:

    $f'(c)=\displaystyle{\frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)}=\frac{1-(-2)}{3}=1}$

    Además $f'(x)=3x^{2}+2x-1$ por lo que $f'(c)=3c^{2}+2c-1$

    Como $f'(c)=1$ entonces $3c^{2}+2c-1=1$ por lo que $c=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{7}}{3}\;\;\mbox{o}\;\;c=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}}$

    Luego en $\displaystyle{\left(\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\frac{11-5\sqrt{7}}{27}\right)}$ y en $\displaystyle{\left(\frac{-1-\sqrt{7}}{3},\frac{11+5\sqrt{7}}{27}\right)}$ la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos $(-2,-2)$ y $(1,1)$.


  2. Como $f$ es continua en el intervalo $[-10,10]$ y derivable en el intervalo $]-10,10[$ cumplirá ambas condiciones en el intervalo $[-6,8]=[a,b]$

    Luego debe existir por lo menos un número $c\in ]-6,8[$ tal que

    $f'(c)=\displaystyle{\frac{f(8)-f(-6)}{8-(-6)}=\frac{6-8}{14}=\frac{-1}{7}}$

    Como ,

     entonces $f'(c)=\displaystyle{\frac{-c}{\sqrt{100-c^{2}}}}$ por lo que $f'(c)=\displaystyle{\frac{-1}{7}=\frac{-c}{\sqrt{100-c^{2}}}}$

    Resolviendo la ecuación se obtiene que $c=\sqrt{2}$ o $c=-\sqrt{2}$

    Aunque ambos valores de $C$ pertenecen al intervalo $]-6,8[$,se tiene que $f'(x)=\displaystyle{\frac{-1}{7}}$ únicamente cuando $c=\sqrt{2}$

    Luego en $P(\sqrt{2},7\sqrt{2})$ la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos $(-6,8)\;\;\mbox{y}\;\;(8,6)$.

    Gráficamente se tiene:

    El análisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante.

Volver
Revista digital Matemática, Educación e Internet.