Lic. Elsie Hernández S.

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Límites que presentan la forma $0\cdot \infty$

Si $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=0\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=\infty }$ entonces el $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\;g(x)]}}$ puede designarse por la forma $0\cdot \infty$ que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hôpital.

Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan las formas $\displaystyle{\frac{0}{0}\;\;\mbox{o}\;\;\frac{\infty}{\infty}}$, como sigue:

  1. $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\;g(x)]}=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}}$ y se tiene $\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}$ cuando $x\rightarrow a$
  2. $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\;g(x)]}=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}}$ y se tiene $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ cuando $x\rightarrow a$

En estos dos casos sí es posible aplicar los teoremas de la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

Calcular los límites siguientes:

  1. $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{[2x\;ln\;x]}}$

    Como $x\rightarrow 0^{+}$ entonces $2x\rightarrow 0^{+}$ y $ln\;x\rightarrow -\infty$

    Pero $2x\;ln\;x$ puede escribirse como $\displaystyle{\frac{ln(x)}{\frac{1}{2x}}}$ que presenta la forma $\displaystyle{\frac{-\infty}{+\infty}}$ lo que nos permite aplicar la Regla de L'Hôpital como sigue:

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{[2x\;ln\;x]}=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{ln(x)}{\frac{1}{2x}}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{2x^{2}}}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{-2x}=0}$

  2. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{sen\;x\;ln\;x}}$

    Note que si $x\rightarrow 0^{+}$ entonces $sen\;x\rightarrow 0^{+}$ y $ln\;x\rightarrow -\infty$ pero $sen\;x\;ln\;x$ puede escribirse como:

    $\displaystyle{\frac{ln\;x}{\frac{1}{sen\;x}}=\frac{ln\;x}{csc\;x}}$ que presenta la forma $\displaystyle{\frac{-\infty}{+\infty}}$ cuando $x\rightarrow 0^{+}$.

    Luego:

    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{sen\;x\;ln\;x}=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{ln\;x}{csc\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{\frac{1}{x}}{-csc\;x\;cot\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{-sen^{2}x}{x\;cos\;x}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{-1}{cos\;x}}\cdot \lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{sen^{2}x}{x}}}$ forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$

    $\displaystyle{=\frac{-1}{1}\cdot \lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{\frac{2sen\;x\;cos\;x}{1}}=-1\cdot 0=0}$

    Por tanto: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{0^{+}}}{sen\;x\;ln\;x}=0}$


  3. $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{(1-x)\;tan\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}}$

    Este límite vuelve a presentar la forma $0\cdot \infty$, sin embargo, la expresión $\displaystyle{(1-x)\;tan\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}$ puede también escribirse como:

    $\displaystyle{\frac{(1-x)\;sen\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}{cos\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}}$ que presenta la forma $\displaystyle{\frac{0}{0}}$, cuando $x\rightarrow 1^{-}$.

    Luego, calculamos el límite como sigue:

    $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{(1-x)\;tan\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{\frac{(1-x)\;sen\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}{cos\left(\frac{\pi\;x}{2}\right)}}}$

    $\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)}\cdot \lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{\frac{(1-x)}{cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}} }$

    $\displaystyle{=1\cdot \lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{\frac{-1}{\frac{-\pi}{2}sen\;\left(\frac{\pi}{2}x\right)}}=\frac{2}{\pi}}$


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