Lic. Elsie Hernández S.

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Derivadas de orden superior

Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$.

Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función.

Ejemplos:

  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces:

    $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y

    $f''(x)=30x+12$

  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces:

    $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente

    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$

    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$

Similarmente podemos decir que la derivada de $D_{x}^{2}f(x)$ respecto a "x" es la tercera derivada de $f$ respecto a "x" que se denota $D_{x}^{3}f(x)$ o $f'''(x)$.

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada $D_{x}^{4}f(x)$ y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de $f$ que se denota por $D_{x}^{n}f(x)$ o $f^{(n)}(x)$. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.

Ejemplos:

  1. Determinar $g''(x)\; \mbox{si}\; g(x)=\sqrt{x^{2}+2x+3}$, donde $D_{g}=I\!\!R$

    Solución:

    Obtenemos primero $g'(x)$

    $\displaystyle{g'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}}$

    Luego:
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+2x+3}-(x+1)\cdot \frac{(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}}{\sqrt{(x^{2}+2x+3)^{2}}}}$ y se tiene que:

    $\displaystyle{g''(x)=\frac{2}{(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}+2x+3}}}$

  2. Determinar $\displaystyle{f'''(x)\;\mbox{si}\; f(x)=2x^{\frac{1}{3}}-4x^{\frac{2}{5}}+x}$

    Solución:

    Se tiene que:

     

    Por último:

     

  3. Si $y=\sqrt{x}$ determinar $D_{x}^{n}y$.

    En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos.

    Así:




     

     
    .

    .

        

    .

  4. Obtener $D_{u}^{n}w \; \mbox{si}\; w=\displaystyle{\frac{1}{1+2u}}$.
    Solución:

    Ejercicio para el estudiante

Una aplicación de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si $s = s(t)$ nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo $t$, entonces $D_{t}s(t)$ es la velocidad en el tiempo $t$.

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular $D_{t}v(t)$ se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo $t$. Si denotamos esta aceleración por $a(t)$ se tiene que $a(t)=D_{t}^{2}s(t)$, es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

Ejemplo:

Sea $s=\displaystyle{\frac{32}{12+t^{2}}}\; \mbox{con}\; t\geq 0$, la ecuación que determina la distancia en el tiempo $t$(en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.


Solución:

Si $\displaystyle{s=\frac{32}{12+t^{2}}} $ entonces la velocidad, $v$ está dada por:

$\displaystyle{v(t)=\frac{-64t}{(12+t^{2})^{2}}}=s'(t)\; \mbox{y la aceleraci\'on es}\;a=\frac{192t^{2}-768}{(12+t^{2})^{3}}=v'(t)$

Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.

$a(t)=0 \Leftrightarrow 192t^{2}- 768=0 \Leftrightarrow t^{2}=4 \Leftrightarrow t=2$

Luego, la distancia recorrida cuando $t=2$ es $s=2$ metros y la velocidad en $t=2$ es $\displaystyle{v=\frac{-1}{2}\;m/seg}$.

Otros ejemplos con la segunda derivada

Si $y = f(x)$ es la ecuación de una curva, se sabe que $f'(x)$ determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto $(x,y)$.

Se tiene que $D_{x}^{2}y$ es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a $x$. Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la gráfica de una función.

Ejemplos:

  1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la curva con ecuación $y=x^{4}+x^{3}-3x^{2}$, en los que la razón de cambio de la pendiente es cero.

    Solución:

    Se tiene que $y'=4x^{3}+3x^{2}-6x$ da la pendiente de la recta tangente a la curva.

    Además $y''=12x^{2}+6x-6$ determina la razón de cambio de la pendiente.

    Debemos averiguar los valores de $x$ en los que esta razón de cambio es cero;

    Entonces $y''=0 \Leftrightarrow 6(2x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x =\displaystyle{ \frac{1}{2}} \; \mbox{\'o} \; x=1$

    Luego, cuando $x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ la pendiente es $\displaystyle{y'= 12(\frac{1}{4})+\frac{6}{2}-6=0}$ y cuando $x=-1$ la pendiente $y'$ también es cero.

  2. Determinar la razón de cambio de la pendiente en $(3,27)$ para la curva con ecuación $y=(2x-3)^{3}$.


    Solución:

    La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función, así:

    $D_{x}^{2}y=D_{x}(D_{x}y)=D_{x}[6(2x-3)^{2}]=12(2x-3)\cdot 2=24(2x-3)$

    En el punto con coordenadas $(3,27)$ la razón de cambio de la pendiente es:
    $24(2\cdot 3-3)=24(6-3)=72$
    Luego $D_{x}^{2}y=72 \;\mbox{en}\;(3,27)$

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